Mécanique Analytique : Oscillation

[Mathusalem]

Bonjour,

Dans le cadre d'un assistanat de mécanique analytique, les élèves doivent résoudre le problème suivant :

Une masse ponctuelle est lachée sans friction sur un rail de profil y = f(x), plongé dans un champ gravitationnel.

Quelle doit-être la forme du rail afin que le mouvement soit harmonique ? (i.e )

Après quelques calculs, on obtient l'équation différentielle suivante sur f(x)



Avec et E l'énergie mécanique.
Afin d'étoffer le corrigé du problème, je souhaiterais faire un plot de f(x), mais voilà : J'éprouve quelques difficultés à résoudre cette équation différentielle. J'ai essayé de poser v(x) = f'(x), pour réduire l'équa-diff à un système de deux équations différentielles couplées du premier ordre, puis passe par ode45 dans Matlab, mais rien à faire, j'obtiens des divergences.

J'ai aussi simplement essayer de résoudre le système d'équadiff du premier degré avec le schéma d'Euler : ça donne de résultats, mais là-aussi, divergence.

Certains d'entre-vous sont-ils habitués à résoudre (numériquement) ce genre d'équa-diff, si oui, comment ?

[Black Jack]

si on a d²x/dt² = -k.x, alors [k] = T^-2
et w² = k/m est alors dimensionnellement bancal.

Doit-on comprendre que le profil du rail correspondant à y = f(x) dans un repère (Oxy), c'est bien l'abscisse x de l'objet qui se trouve dans la relation d²x/dt² = -k.x ?

Si oui, je n'aboutis pas à ton équation différentielle.

Je trouve tout autrement que le profil du rail est donné par :

y = (g/(2k))*[ln(2.racine(1 - 4k²x²/g²) + 1) - racine(1 - 4k²x²/g²)] + K. avec K une constante réelle quelconque.

et cela pour x compris dans [-g/(2k) ; g/(2k)]

Voila le profil que cela donne avec par exemple k = 0,5 s^-2 et g = 9,81 N/kg avec x et y en m.



Si j'ai bien interprété la demande, et sauf erreur probable de ma part.

:zen:

[Mathusalem]

si on a d²x/dt² = -k.x, alors [k] = T^-2
et w² = k/m est alors dimensionnellement bancal.

Doit-on comprendre que le profil du rail correspondant à y = f(x) dans un repère (Oxy), c'est bien l'abscisse x de l'objet qui se trouve dans la relation d²x/dt² = -k.x ?

Si oui, je n'aboutis pas à ton équation différentielle.

Je trouve tout autrement que le profil du rail est donné par :

y = (g/(2k))*[ln(2.racine(1 - 4k²x²/g²) + 1) - racine(1 - 4k²x²/g²)] + K. avec K une constante réelle quelconque.

et cela pour x compris dans [-g/(2k) ; g/(2k)]

Voila le profil que cela donne avec par exemple k = 0,5 s^-2 et g = 9,81 N/kg avec x et y en m.



Si j'ai bien interprété la demande, et sauf erreur probable de ma part.

:zen:

Salut Black Jack, tu as raison pour omega, mais c'est un détail. Je trouve l'équadiff en supposant

Je ne sais pas comment tu trouves une équation différentielle différente.

On se met dans un repère Oxy, avec la contrainte que y = f(x).

Dès lors, l'accélération du mobile s'écrit comme :



On ne s'intéresse qu'à la tangente selon le profil du rail, la direction normale ne possédant pas de dynamique. Donc on projète sur la tangente. On a alors



Donc, en réarrangent par rapport à x, on obtient



On exige que le mouvement soit oscillatoire selon x, donc



Il ne reste plus qu'à remplacer par l'énergie et on obtient mon équation.

Est-ce que ton équation part du principe que le mouvement soit oscillatoire selon le rail ?

[Black Jack]

Je calcule la composante F du poids tangentielle à la trajectoire :

On appelant Phi l'angle de la tangente en un point à la trajectoire (pente de la tangente et donc : f'(x))

Il vient F = -P.sin(Phi)
avec tg(Phi) = f'(x)

C'est la résultante des forces sur le mobile.

On calcule alors la composante Fx de F suivant Ox : Fx = P.cos(Phi)

Et on arrive à Fx = - m.g.sin(Phi).cos(Phi) = -(1/2).mg.sin(2Phi)

et avec Fx = m d²x/dt², on arrive à : d²x/dt² = -(1/2).g.sin(2Phi)

Et avec d²x/dt² = - k.x (qui impose que le mouvement soit oscillatoire harmonique pour l'abscisse du mobile) --->

(1/2).g.sin(2Phi) = kx

(1/2).g.sin(2.arctan(dy/dx)) = kx

dy/dx = tg[(1/2).arcsin(2kx/g)]

Qui donne la solution que j'ai donnée... que je n'ai pas analysée plus avant, et donc méfiance.



:zen:

[Mathusalem]

Il vient F = -P.sin(Phi)
avec tg(Phi) = f'(x)

C'est la résultante des forces sur le mobile.

On calcule alors la composante Fx de F suivant Ox : Fx = P.cos(Phi)

La réaction du support a aussi une composante selon x.

[Black Jack]

La réaction du support a aussi une composante selon x.

Oui, il faudra que je revois ma copie.

:zen:

[Black Jack]

Quoique, pas si sûr.

Il y a 2 forces qui agissent sur le mobile, son poids et la réaction du support.

Le poids peut être décomposé en une composante normale à la piste et une tangentielle à la piste.

La composante normale à la piste est compensée par la réaction du support (puisque pas de frottement et le mobile n'a aucun mouvement perpendiculaire à la piste)

La résultante des forces sur le mobile est uniquement la composante du poids tangentielle à la piste.

Non ?

Si oui, alors, il ne faut tenir compte, dans le déplacement Ox, que de la projection sur Ox de la composante du poids tangentielle à la piste.

Peut-être que je me trompe.

:zen:

[Mathusalem]

Non.

La somme des forces sur le mobile est .

Tu peux pas dire : Je projette tout sur la tangente, puis après je reprojette juste la tangente sur x.

Si tu veux connaître l'accélération sur x, tu projettes la somme des forces sur x.

Attention, la normale n'est pas simplement mgcos(a). La trajectoire est certainement courbe et du coup il doit aussi y avoir un terme centripète dedans. Cela se vérifiera facilement calculant la norme de N.

[Black Jack]

Soit y = 0 l'altitude max atteinte à vitesse nulle.

vx² + vy² = -2.gy

x = A.cos(Vk.t)
Vx = -A.Vk.sin(Vk.t)
On élimine t entre ces 2 équations et on a : (Vx)² = k.(A²-x²)

On a aussi : Vy = Vx * dy/dx

Vx².(1 + (dy/dx)²) = -2gy

k.(A²-x²).(1 + (dy/dx)²) = -2gy

dy/dt = (signe de x) * racinecarrée[-1 - 2gy/(k.(A²-x²)] (1)

Equation facile à simuler à 2 conditions, estimer le dy/dt en x = 0 (impossible à tirer de (1) car on est alors avec une indétermination 0/0)

Pour que cela mêne, à quelque chose sans heurt en x = 0, il faut obligatoirement que (dy/dx)(x=0) = 0

Donc une condition est d'avoir y(x=0) = k.A²/(2g) (2)

On simule (excell par exemple) (1) en laissant A en paramètre et on modifie la valeur de A pour que la condition (2) soit remplie.

La colonne x est calculée par "=$A$2*COS(RACINE($B$2)*t)" et impose donc le mouvement harmonique sur x.

Il reste à imposer une valeur plausible pour (dx/dt)(0) et le machin est parti.

Voila par exemple ce que cela donne (j'ai choisi k et g), J'ai choisi (presque arbitrairement) (dy/dx)(0) = -0,9

J'ai modifié la valeur de A jusqu'à ce que (sur le graphe) (2) soit satisfaite...

Et cela a donné ceci : (attention, les échelles sur les axes x et y sont différentes)

La valeur de A a ajuster est très pointue (soit ici : A = 4,94589547127), Si on s'éloigne un poil de cette valeur, soit cela plante car on obtient des valeurs négatives sous les racines carrées, soit le machin diverge vers x = 0, et il y a une "cassure dans la courbe en x = 0, donc un saut brusque sur l'accélération dans le sens vertical, ce qui correspond à une impossibilité physique).

Remarque :
Si on modifie (dans des proportions raisonnables) la valeur de (dy/dx)(0), cela n'influence guère le comportement, il faut juste ajuster un peu la valeur de A.




:zen:

[Black Jack]

Dans mon message précédent,

dy/dt = (signe de x) * racinecarrée[-1 - 2gy/(k.(A²-x²)] (1)

Equation facile à simuler à 2 conditions, estimer le dy/dt en x = 0 ...

doit évidemment être remplacé par :

dy/dx = (signe de x) * racinecarrée[-1 - 2gy/(k.(A²-x²)] (1)

Equation facile à simuler à 2 conditions, estimer le dx/dt en x = 0 ...
*****
Si on calcule les valeurs numériques de d²y/dx² à partir de ce qui est trouvé par le tableau excel, on retrouve des valeurs identiques à celles données par l'équation différentielle de Mathusalem ...

:zen: