Méca quantique

[Mathusalem]

Bonjour,

J'ai le problème suivant :

Soit un oscillateur harmonique unidimensionnel soumis à un champ électrique .



Le dernier terme constant constitue le shift d'energie. On connait les fonctions d'ondes d'ordre n des états
http://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_harmonic_oscillator (Hamiltonian and Energy eigenstates)
A la différence que la fonction d'onde avec le champ electrique se voit remplacer x par x - qe/mw^2.

On me dit que je suis d'abord dans l'état non-perturbé excité numéro 1. Donc


Jusque là, tout va bien.
On me dit : l'enclenchage abrupte du champ électrique ne modifie pas 'l'état de la fonction d'onde'. Calculer la probabilité lors d'une mesure d'obtenir le niveau d'energie n perturbé.

Donc, avec la donnée, je dois calculer
avec la fonction d'onde avec le champ electrique.

Quelqu'un a-t-il la réponse de ce problème ? J'obtiens au final un calcul dégueulasse que je ne peux pas vérifier.
J'obtiens la bonne réponse pour la probabilité, en partant de l'état fondamental perturbé, lors de l'éteinte du champ électrique, de tomber dans le n-ième état non-perturbé : mais le calcul est moins dégueu.

EDIT : J'ai checké, ça à l'air plausible : pour les curieux
La probabilité de transitionner du premier état excité sans champ dans le n-ème état excité avec champ est :
(pas 100% sûr)
La probabilité de transitionner de l'état fondamental avec champ dans le n-ème état excité sans champ est :
(100% sûr)

avec

Si quelqu'un avait une source, ça serait cool.

[godzylla]

comment ils ont trouvé ce genre de questions?

[Mathusalem]

comment ils ont trouvé ce genre de questions?

Cesse d'être inutile et d'innonder le forum de tes questions sans sens, s'il te plaît.

[godzylla]

c'est pénible pour moi aussi, je préfère la réponse aux polémiques.

[Skullkid]

Salut, j'ai pas de source mais pour la proba de transition de l'état non perturbé 1 vers l'état perturbé n je trouve un truc un peu différent : (la même que toi en rajoutant le carré dans l'exponentielle et en retirant la racine sur le 2^n). On peut réécrire plus joliment avec . En sommant cette expression sur tous les n on tombe bien sur 1, donc je serais tenté de penser qu'elle est correcte.

Pour le détail des calculs, la fonction d'onde de l'état non perturbé 1 est avec . Celle de l'état perturbé n est avec . D'où :



On fait le changement de variable :



Ensuite on peut utiliser , ce qui donne :



En appelant l'intégrale dans cette dernière expression, par orthogonalité des Hermite :



D'où puis .

[Skullkid]

Salut, j'ai pas de source mais pour la proba de transition de l'état non perturbé 1 vers l'état perturbé n je trouve un truc un peu différent : (la même que toi en rajoutant le carré dans l'exponentielle et en retirant la racine sur le 2^n). On peut réécrire plus joliment avec . En sommant cette expression sur tous les n on tombe bien sur 1, donc je serais tenté de penser qu'elle est correcte.

Pour le détail des calculs, la fonction d'onde de l'état non perturbé 1 est avec . Celle de l'état perturbé n est avec . D'où :



On fait le changement de variable :



Ensuite on peut utiliser , ce qui donne :



En appelant l'intégrale dans cette dernière expression, par orthogonalité des Hermite :



D'où puis .

[Mathusalem]

wow, merci pour le travail.
J'ai revérifié mon résultat final et on tombe sur la même chose. C'est plus efficace ce que toi tu as fait.

A la deuxième ligne, j'ai fait le changement de variable pour obtenir


et

est génératrice des polynômes d'hermites et bam. Sauf que comme ça j'ai trois polynômes, j'ai explicité H_1(z-2beta), et vu que H_1(z-2beta) = 2z - 4beta, j'avais 2ze^{-z2} donc j'ai intégré par partie, pensant être au summum du malin, mais après faut encore bien travailler.

Tu t'économises pas mal de lignes avec ton expression binomiale (que je connaissais pas) de H_n(x+y)

Merci en tous cas !

[Skullkid]

De rien, ça me donne l'impression de savoir quelque chose en méca quantique ! Ouais c'est bien de savoir qu'il existe une formule pour Hn(x+y), ça permet d'ordonner ses priorités (d'abord un changement de variable pour avoir du exp(-s²), ensuite le développement binomial pour avoir du Hn(s))