Maths sup Etude de la trajectoire d'un astre

[Help19]

Bonjour, j'ai un DL à rendre pour demain et il me reste 2 - 3 questions à faire mais je rame un peu ...

Voilà le sujet:

Dans ce problème, on considère le soleil comme un astre à symétrie sphérique dont le centre S peut être pris comme l'origine d'un référentiel galiléen (référentiel de Copernic). On étudie le mouvement d'un astre M assimilable à un point matériel de masse m; celui-ci n'est soumis qu'à la force de gravitation due au soleil dans les parties I, II, III. On note G la constante de gravitation universelle et Ms la masse du soleil.

Données: G = 6,67 x 10^-11 SI et Ms = 2 x 10^30 kg

I - Etude générale des trajectoires possibles.

1) On suppose m << Ms. Que justifie cette hypothèse ?
=> J'ai répondu que, comme l'astre n'est soumis qu'à la force de gravitation due au soleil, et puisque l'on est dans un référentiel galiléen, la masse de l'astre doit être inférieure à celle du soleil

2) Quelles sont les principales caractéristiques du mouvement d'un point matériel dans un champ de forces centrales conservatives ?
=> J'ai répondu que le moment cinétique et l'énergie mécanique se conservent, que le mouvement est plan et que ce mouvement vérifie la loi des aires.

3) On cherche à étudier le mouvement en coordonnées polaires et on pose g = GMs et u = 1/r.
Dans le cas de l'intéraction gravitationnelle, en raisonnant sur l'énergie mécanique E montrer que la trajectoire de M vérifie l'équation différentielle:

(du/dtheta)² + u² - alpha*u = beta (1)

où alpha et beta sont des constantes que l'on exprimera en fonction de g, m, E et du moment cinétique L de l'astre M
[Conseil du prof: On pourra commencer par démontrer la première formule de Binet : v² = C²[(du/dtheta)² + u²]

Voilà, c'est à cette question que je bloque. J'ai réussi sans problème à démontrer la formule de Binet mais après je suis à court d'idées.
Pour le raisonnement sur l'énergie mécanique, je me doute qu'il faut partir de la définition (Em = Ec + Epp) mais après ...

4) Résoudre cette équation et montrer que la trajectoire de M est une conique dont on calculera l'excentricité e et le paramètre p en fonction de et puis en fonction de g, m, E et L
[ Conseil du prof: On pourra dériver l'équation (1) par rapport à , résoudre cette nouvelle équation différentielle et enfin déterminer les constantes d'intégration en injectant la solution trouvée dans l'équation (1)]

Je ne me suis pas encore penché sur cette question ...

Voilà, merci d'avance à tous ceux qui voudront bien m'aider.

[Mathusalem]

Bonjour, j'ai un DL à rendre pour demain et il me reste 2 - 3 questions à faire mais je rame un peu ...

Voilà le sujet:

Dans ce problème, on considère le soleil comme un astre à symétrie sphérique dont le centre S peut être pris comme l'origine d'un référentiel galiléen (référentiel de Copernic). On étudie le mouvement d'un astre M assimilable à un point matériel de masse m; celui-ci n'est soumis qu'à la force de gravitation due au soleil dans les parties I, II, III. On note G la constante de gravitation universelle et Ms la masse du soleil.

Données: G = 6,67 x 10^-11 SI et Ms = 2 x 10^30 kg

I - Etude générale des trajectoires possibles.

1) On suppose m J'ai répondu que, comme l'astre n'est soumis qu'à la force de gravitation due au soleil, et puisque l'on est dans un référentiel galiléen, la masse de l'astre doit être inférieure à celle du soleil

2) Quelles sont les principales caractéristiques du mouvement d'un point matériel dans un champ de forces centrales conservatives ?
=> J'ai répondu que le moment cinétique et l'énergie mécanique se conservent, que le mouvement est plan et que ce mouvement vérifie la loi des aires.

3) On cherche à étudier le mouvement en coordonnées polaires et on pose g = GMs et u = 1/r.
Dans le cas de l'intéraction gravitationnelle, en raisonnant sur l'énergie mécanique E montrer que la trajectoire de M vérifie l'équation différentielle:

(du/dtheta)² + u² - alpha*u = beta (1)

où alpha et beta sont des constantes que l'on exprimera en fonction de g, m, E et du moment cinétique L de l'astre M
[Conseil du prof: On pourra commencer par démontrer la première formule de Binet : v² = C²[(du/dtheta)² + u²]

Voilà, c'est à cette question que je bloque. J'ai réussi sans problème à démontrer la formule de Binet mais après je suis à court d'idées.
Pour le raisonnement sur l'énergie mécanique, je me doute qu'il faut partir de la définition (Em = Ec + Epp) mais après ...

4) Résoudre cette équation et montrer que la trajectoire de M est une conique dont on calculera l'excentricité e et le paramètre p en fonction de et puis en fonction de g, m, E et L
[ Conseil du prof: On pourra dériver l'équation (1) par rapport à , résoudre cette nouvelle équation différentielle et enfin déterminer les constantes d'intégration en injectant la solution trouvée dans l'équation (1)]

Je ne me suis pas encore penché sur cette question ...

Voilà, merci d'avance à tous ceux qui voudront bien m'aider.

Salut !
Au 1). ce que justifie la relation de la masse de la planete beaucoup plus petite que la masse de l'astre, c'est que si tu calcules la force gravitationnelle entre les deux, alors l'accélération dûe à cette force sur l'astre est quasi-negligeable, et donc justifie le fait d'appeler le centre de l'astre un referentiel galileen (lequel ne doit pas etre soumis a une accélération pour etre galileen (ou d'inertie) et donc tu peux faire de la physique dedans sans problèmes.)

Au 3), j'ai pas encore complètement réfléchi, mais si tu as la vitesse, tu as l'accélération (sur vec[e radial] car l'acceleration est radiale dans un tel mvt). Si tu as l'accélération, tu peux ecrire la somme des forces et trouver une equ. differentielle a partir de ça. Ensuite, tu peux ecrire ce qu'impliquele moment cinetique constant, injecté dans la premiere equation differentielle, reformuler ça pour avoir ses constantes, et en theorie ca devrait passer.

Ensuite au 4) ça sent méchamment le calculatoire brut, donc là, voilà..

A+ en espérant que ça aide.

[Help19]

Merci pour ta réponse.
Pour la question 1), peut-on dire que la masse du soleil doit être très supérieure à celle de l'astre pour que le mouvement relatif de l'astre puisse correspondre au mouvement du centre d'inertie ?

Pour la question 2), j'ai précisé la conservation du moment cinétique aussi.

Pour la question 3), j'ai:
Ec = 1/2mv² = 1/2mC²[(du/d)² + u²]
Ep = -GmMs/r = -G*m*Ms*u
D'où:
Em = Ec + Ep = 1/2mC²[(du/d)² + u²] -G*m*Ms*u
Or, on sait que l'énergie mécanique se conserve, donc 1/2mC²[(du/d)² + u²] -G*m*Ms*u = constante
Mais après je ne sais plus trop quoi faire ...

[Help19]

Ah si c'est bon:
On a montré:
[(du/d\theta)² + u²] - 2gu/C² = 2E/LC
avec: alpha = 2g/C²
et: beta = 2E/LC

Je vais me débrouiller pour la question suivante ;)

Par contre, pour la toute première question, pouvez vous confirmer que la masse du soleil doit être très supérieure à celle de l'astre pour que le mouvement relatif de l'astre puisse correspondre au mouvement du centre d'inertie ?

[Mathusalem]

Ah si c'est bon:
On a montré:
[(du/d\theta)² + u²] - 2gu/C² = 2E/LC
avec: alpha = 2g/C²
et: beta = 2E/LC

Je vais me débrouiller pour la question suivante

Par contre, pour la toute première question, pouvez vous confirmer que la masse du soleil doit être très supérieure à celle de l'astre pour que le mouvement relatif de l'astre puisse correspondre au mouvement du centre d'inertie ?

Je ne comprends pas ta question. Quel est le centre d'inertie pour toi ? Tu as le centre de l'astre qui est considéré comme un référentiel d'inertie. C'est à dire que c'est un point/lieu de référence qui n'est soumis à aucune accélération. Or, tu sais que ce n'est pas vrai, car tu as la formule de la force entre l'astre et la planète. Cette force agit et equitablement et sur l'astre, et sur la planète. Seulement, étant donné la relation entre les masses, à savoir m << Ms, on voit que la force sur l'astre ne génère pratiquement aucune accélération sur celui-ci. C'est pour cela que l'on peut considerer/approximer le centre de cet astre comme un référentiel galiléen/d'inertie.