Loi de Kepler

[t.itou29]

Bonjour,
Je ne comprends pas d'où vient la réponses à un problème :
"Two stars a ans b, move around one another under the influence of their mutual gravitational attraction. If the semi major axis of their relative orbit is observed to be R, measured in astronomical units (AU) and their period of revolution is T years. Find the sum of the mass of the two stars, Ma+Mb, in terms of the mass of the sun."
La réponse donnée est Ma+Mb=(R^3/T^2)*Ms
Le R^3/T^2 vient de la loi de Kepler mais je n'arrive pas à voir comment elle est appliquée. L'énoncé de la 3ème loi dans le cours est: le carrée de la période est proportionnel au cube du demi-grand axe de l'orbite. Et partir de ça j'ai aucune idée ...

[Black Jack]

Le centre d'inertie de l'ensemble des 2 étoiles est entre les 2 étoiles, sur la droite joignant leurs centres d'inertie et à une distance R*MB/(MA+MB) de l'étoile A.

En supposant des orbites circulaires autour du centre d'inertie de l'ensemble des 2 étoiles :

La force centrifuge sur l'étoile A est Fc = MA.w²* R*MB/(MA+MB)

La force d'attraction de l'étoile B sur la A est : Fa = G.MA*MB/R² (même ligne de force que Fc mais de sens contraire)

Et on doit avoir ces forces qui se compensent et donc :

MA.w²* R*MB/(MA+MB) = G.MA*MB/R²
w²* R/(MA+MB) = G/R²
MA + MB = w².R³/G

MA + MB = (4Pi²/T²).R³/G
MA + MB = (4Pi²/G).R³/T² (1)
***

Pour la Terre :

G.Ms.Mt/d² = Mt.w².d
G.Ms/d² = w².d

Ms = w².d²/G
Ms = (4Pi²/T²) * d²/G

Et dans un système d'unité avec T en années terrestres et d en UA, pour la Terre, on a : d = 1 UA et T = 1 an
---> Ms = 4Pi²/G

Ceci remis dans (1) --->

MA + MB = (R³/T²).Ms (avec R en UA et T en années terrestres)
*****

Voila une explication simple pour un mouvement circulaire des étoiles A et B ...

Peut-être faut-il aller un peu plus loin si on veut englober le mouvement elliptique ?

:zen:

[t.itou29]

Le centre d'inertie de l'ensemble des 2 étoiles est entre les 2 étoiles, sur la droite joignant leurs centres d'inertie et à une distance R*MB/(MA+MB) de l'étoile A.

En supposant des orbites circulaires autour du centre d'inertie de l'ensemble des 2 étoiles :

La force centrifuge sur l'étoile A est Fc = MA.w²* R*MB/(MA+MB)

La force d'attraction de l'étoile B sur la A est : Fa = G.MA*MB/R² (même ligne de force que Fc mais de sens contraire)

Et on doit avoir ces forces qui se compensent et donc :

MA.w²* R*MB/(MA+MB) = G.MA*MB/R²
w²* R/(MA+MB) = G/R²
MA + MB = w².R³/G

MA + MB = (4Pi²/T²).R³/G
MA + MB = (4Pi²/G).R³/T² (1)
***

Pour la Terre :

G.Ms.Mt/d² = Mt.w².d
G.Ms/d² = w².d

Ms = w².d²/G
Ms = (4Pi²/T²) * d²/G

Et dans un système d'unité avec T en années terrestres et d en UA, pour la Terre, on a : d = 1 UA et T = 1 an
---> Ms = 4Pi²/G

Ceci remis dans (1) --->

MA + MB = (R³/T²).Ms (avec R en UA et T en années terrestres)
*****

Voila une explication simple pour un mouvement circulaire des étoiles A et B ...

Peut-être faut-il aller un peu plus loin si on veut englober le mouvement elliptique ?

:zen:

Je me disais bien qu'il me manquait quelque chose ! Dans le cours de Feynman il n'est pas précisé l'expression de la force centrifuge (ni même la force centrifuge elle même à part pour un exemple sur les marées...). En lisant le cours tout semble clair mais après les exercices demandent des outils et une méthode non exposée, je commence à me demander si les cours de Feymnan sont "self-contained" et adaptés pour appendre par soi-même.
Pour revenir au probleme, je viens de regarder sur wikipedia pour la force centrifuge et je crois avoir compris votre démonstration :we: (en tout cas mathématiquement après au niveau de l'inutution physique...) . Qu'est-ce qui changerait avec des orbites elliptiques ? La force d'attraction ne changeant pas ce serait la force centrifuge ?