Les satellites

[Mister Red]

Bonjour à tous, j'aurais besoin de votre aide pour avancer dans cet exercice de mécanique.



A partir de la Terre de rayon Rt, on veut lancer un satellite du point N pour qu'il arrive au point S en décrivant une trajectoire elliptique de paramètre p, d'excentricité e et d'équation polaire r = p / [1-e.cos(Téta)] telle que OP = r et l'angle (Ox,OP)=Téta

Première question : Déterminer le paramètre p en fonction de Rt et l'excentricité e en fonction de l'angle Alpha. Méthode : se placer au point de lancement et calculer les composantes radiales et orthoradiale du vecteur V0. Quelle doit être la condition sur Alpha ?

Ai-je bien placé mes axes polaires ? Si oui, voilà mes projections :
sur /Ur : V0.cos(alpha)
sur /U(Téta) : V0.sin(alpha)

La condition sur Alpha ?
Le vecteur V0 doit être perpendiculaire à la direction du lancement je crois non ? Mais comment exprimer p et e ensuite ?

[Black Jack]

Pour theta = Pi/2, point N --> r = Rt
Rt = p/(1 - e.cos(Pi/2))
p = ...
************
Equation cartésienne de l'ellipse :

(x-c)²/a² + y²/b² = 1
Avec c = a.e et b² = a²-c²
(a est le demi grand axe, b est le demi petit axe et e est l'excentricité, c est la distance sentre le centre de l'ellipse et un foyer (centre de la Terre)).

Equation de la partie "haute de la parabole" : y = (b/a).racinecarrée(a² - (x-c)²)

Le vecteur vo est tangent à l'ellipse en x = 0

--> cherche l'équation de la tangente en N à l'ellipse, elle a la direction du vecteur Vo.

Il me semble que tu devrais aboutir à : y = e.x + Rt comme équation de cette tangente. (A toi de le montrer).

Et de là, on a de suite la relation liant e à l'angle alpha.

:zen:

[Mister Red]

Ok d'accord je viens de montrer que l'équation de la tangente à l'ellipse en x=0 était bien y = e.x + Rt.

Mais je ne vois pas comment on en déduit e en fonction de l'angle Alpha...

[Black Jack]

Ok d'accord je viens de montrer que l'équation de la tangente à l'ellipse en x=0 était bien y = e.x + Rt.

Mais je ne vois pas comment on en déduit e en fonction de l'angle Alpha...

y = e.x + Rt est l'équation d'une droite (supportant le vecteur vo) passant par le point N et de coefficient directeur e.

Le coeff directeur de la droite supportant le vecteur vo est d'après les notations du dessin égal à tan(Pi/2 - alpha)

Et donc tan(Pi/2 - alpha) = e

alpha = ...

:zen:

[Mister Red]

Ok d'accord merci beaucoup !

[Mister Red]

Pourriez-vous me préciser pourquoi l'équation de l'ellipse est (x-c)²/a² +... enfin surtout pourquoi (x-c)² et pas x² tout court ? Comment savez-vous que quand on trouve y=... dans l'équation de l'ellipse c'est forcément l'équation de la partie "haute de la parabole" ?

Et enfin on me demande de prouver que Vo est comprise entre deux valeurs Vm

[Black Jack]

[quote="Mister Red"]Pourriez-vous me préciser pourquoi l'équation de l'ellipse est (x-c)²/a² +... enfin surtout pourquoi (x-c)² et pas x² tout court ? Comment savez-vous que quand on trouve y=... dans l'équation de l'ellipse c'est forcément l'équation de la partie "haute de la parabole" ?

Et enfin on me demande de prouver que Vo est comprise entre deux valeurs Vm L'équation devient : (x-c)²/a² + y²/b² = 1 et on a encore les relations c = a.e et b² = a²-c² qui sont vraies.
********
De (x-c)²/a² + y²/b² = 1, on tire:
y² = (b²/a²).(a² - (x-c)²)
y = +/- (b/a).racinecarrée(a² - (x-c)²)

Et comme le point N est sur la partie de l'ellipse où les "y" sont positifs, la partie de la courbe où N se trouve est donnée par y = + (b/a).racinecarrée(a² - (x-c)²)
********
Remarque:

Les calculs que j'ai suggérés en coordonnées cartésiennes peuvent aussi être menés en coordonnées polaires, les résultats trouvés ainsi devraient être les mêmes.

:zen:

[Mister Red]

Ok compris Black merci, et pour ces dernières questions : On me demande de prouver que Vo est comprise entre deux valeurs Vm

[Black Jack]

[quote="Mister Red"]
Et enfin on me demande de prouver que Vo est comprise entre deux valeurs Vm Tu peux trouver l'intervalle possible pour alpha avec (2) et (3)

... Et ensuite, avec l'intervalle possible pour alpha connu, en déduire avec (1), l'intervalle correspondant de Vo.

:zen:

[Mister Red]

Mais oui c'est avec l'excentricité qu'on obtient l'intervalle. Je pensais que c'était avec la racine carrée.

Bien joué Black ! Et encore merci pour tout !