Inverse d'un tenseur donné dans deux bases différentes

[Skullkid]

Bonjour, je sèche depuis plusieurs jours sur un problème de mécanique dont l'objet est la transformation d'une sphère en feuille plane. La sphère initiale est de rayon , on s'y repère en coordonnées sphériques . On se repère sur la feuille plane finale en cartésiennes . La transformation utilisée est la suivante, f étant une fonction donnée :



J'ai calculé le gradient de la transformation :

Et ensuite on me demande d'étudier la dilatation surfacique... J'ai la formule qui permet de calculer cette dilatation, sauf que je n'arrive pas à calculer .

J'ai essayé en posant a priori et en résolvant le système , mais je tombe sur des incohérences. Et quand j'essaye de calculer le gradient de la transformation inverse, je tombe également sur des trucs bizarres...

Merci d'avance.