Formules de conjugaisons

[Anonyme]

Bonjour, je ne parvient pas à démontrer la formule de conjugaison avec origine au sommet pour un miroir sphérique concave. Pourriez vous m'aider svp?
merci d'avance.

[Darko]

Ok, je vais te décrire un dessin, essai de le refaire ça sera beaucoup plus clair:

On considère un mirroir sphérique de centre C et de sommet S.
On place le point A sur l'axe optique (du coté réfléchissant du mirroir).
On considère un rayon incident passant par A mais pas parallèlement à l'axe optique.
Ce rayon atteint le mirroir en M et se réfléchis, pour former l'image de A sur l'axe optique, notée A'.
On note H le projeté orthogonal de M sur l'axe optique.

(il est vraiment nécéssaire de refaire le dessin pour comprendre!)

On nome quelques angles:
SAM=a
SA'M=a'
SCM=w
AMC=i
CMA'=i'

Une fois que tu as placé les angles, on fait un peu de géométrie:

Dans le triangle ACM, on traduit le fait que la somme des angles vaut PI radians (=180 degrés)
Donc a+i+PI-w=PI
d'où: i=w-a

De meme dans le triangle CMA' on a w+i+PI-a'=PI
d'ou i'=a'-w

D'après la loi de Descartes on a i=i'
On en déduit que a+a'=2w

En considérant les approximations de Gauss (les rayons incidents sont peu inclinés), on peut identifier l'angle a et sa tangente tan(a)

Grace à la trigonométrie on peut donc dire:
a=tan(a)=HM/AH=(environ) -HM/SA les longeurs HM ect sont absolue (positives ou négatives)

En effet on a H qui est tres proche de S.

De meme a'=(environ) -HM/SA' et w=(environ) -HM/SC

En injectant cela dans a+a'=2w on conclut:
1/SA+1/SA'=2/SC

Il y a beaucoup d'approximation dans cette démonstration, mais je pense qu'elles suffiront pour l'instant!