Fonction de transfert d'un filtre à temps discret

[zoe66]

Bonjour, je suis entrain de réviser un examen de traitement numérique du signal et je bloque sur un problème. Si quelqu'un pouvez m'aider. Je vous remercie par avance.

On souhaite concevoir un filtre a temps discret à réponse impulsionnelle infinie à partir d'un filtre analogique associé. Pour cela on part de la forme factorisé de la fonction de transfert rationnelle Ha(p) du filtre analogique. On en déduit la fonction de transfert H(z) du filtre à temps discret correspondant en conservant l'éventuel facteur de degrés 0 de Ha(p) et en remplaçant chaque facteur de degrés 1 de Ha(p) suivant la loi de correspondance : p+a_i = 1-z^(-1)e^(-a_i*T) avec a_i un nombre complexe et T un paramètre (période d'échantillonnage) réel positif. Dans la suite du problème on considère seulement le filtre analogique ayant pour fonction de transfert Ha(p)=A(p+a_1/p+a_0) avec a_1 ,a_0 et A des paramètres réels.
1) Suivant les valeurs de A, a_1 et a_0 étudier et représenter graphiquement les variations du module de la réponse fréquentielle H_a(j\Omega) du filtre analogique en fonction de la pulsation \Omega.


2) Déterminer la fonction de transfert H(z) du filtre a temps discret correspondant au filtre Ha(p)

3) Déduire comment obtenir la fonction de transfert H(w) en fonction de H(z)

4) Montrer dans le cas ou a_0 et a_1 sont des positifs que

d|H(jw)|/dw=b*(e^{-a_1T}-e^{-a_0T})sin(w)

(dérivé du module de H(w) par rapport a w)

ou b est une grandeur positive, dont on déterminera la valeur.






Voici les questions sur lesquelles je bloque.

Bonne soirée.

[phyelec]

Bonjour,

objectif de l'exercice :"On souhaite concevoir un filtre a temps discret à réponse impulsionnelle infinie à partir d'un filtre analogique associé".

Voici quelques éléments de réponses.

Il s'agit d'un filtre RII qui peut être conçu à partir d'un filtre analogique (ce n'est pas le cas des RIF). On vous donne la fonction de transfert analogique H(p) ( transformation de Laplace). Il faut regarder les pôles pour la stabilité.

question 1) Pour étudier la stabilité H(p) il faut étudier la position des pôles de H(p) dans le plan P.
Problème de stabilité d’un filtre analogique : on regarde la fonction de transfert en p, le système est dit stable si cette dernière possède tous ses pôles dans l’ensemble des réels strictement négatifs.
Les valeurs de H(p) qui annulent le numérateur sont les zéros du filtres
Les valeurs de H(p) qui annulent le dénominateurs sont les pôles du filtres.
-les pôles et les zéros de H(p) sont soient réels soient complexes conjugués
- partie réelle des pôles et des zéros sont négatives (pour stabilité et déphasage minimum)
en générale on appelle les pôles p1,p2...., et les zéros z1,z2,...

dans votre cas : vous avez comme zéro z1=a1 et comme pôle p1=a0, pour la stabilité il faut donc que a1 et a0 soient négatives ( a_1 ,a_0 et A des paramètres réels)
La réponse fréquentielle du filtre est H()
H() est obtenu en remplaçant p par j, vous avez alors une fonction complexe dont vous pouvez calculer la partie réelle et la partie imaginaire.

question 2)Pour calculer H(Z) il faut remplacer dans H(p) par et par

vous obtenez

Les valeurs qui annulent le numérateur sont les zéros du filtres
Les valeurs qui annulent le dénominateurs sont les pôles du filtres

Remarque : Un système analogique stable donne un système numérique stable car les pôles dans le demi-plan gauche du plan "p" sont projetés dans le cercle unité du plan "z".
Stabilité des filtres RII (=pôles à l'intérieur du cercle unité):
• il faut s’assurer que le H(z) ne possède pas de pôles à l’extérieur du cercle défini par z=1.
• les pôles situés le long de z=1 donnent lieu à des réponses oscillatoires.

question 3)
il s'agit de voir le comportement fréquentiel des filtres numériques qui est obtenu en étudiant la fonction de transfert avec z=

question 4)

rappel : =cos()+j sin()

[zoe66]

Bonjour, je vous remercie pour vos réponses.

J'ai pu arriver jusqu'a la question 4 )
Avec A=-1 et et positifs

Voici ce que je trouve :





Si je pose que

j'obtiens alors :



Cela me semble bizarre puisque dans l'énoncé ils précisent que est une grandeur positive et ont doit donner sa valeur. Je ne sais pas si ce que j'ai trouvé pour est correct. Pouvez vous m'aider svp. Merci par avance.

[phyelec]

Bonjour,

j'ai refais le calcul, il me semble que dans u' qui est de la forme f/g il manque au dénominateur.

Sinon je trouve pareil.

[zoe66]

Ah oui effectivement. J'ai oublié le dénominateur de la fonction u'. Merci.