Etude théorique du mouvement d'un pendule

par **Benjamin** » 30 Oct 2012, 21:28

Tu as écrit : a(t) = -L*e_x [cos(phi(t))*phi(t)'² + sin(phi(t))*phi(t)''] - L*e_z0 [-sin(phi(t)*phi(t)'² + cos(phi(t))*phi(t)''] (ce qui est juste).

C'est donc dans la base (e_x;e_z0) que tu as écrit l'accélération.

Dans mon exemple, Ur vaut effectivement ce que tu as dit. Tu seras donc capable d'adapter ça pour exprimer a dans la base (e_r;e_phi). N'oublie qu'on travaille dans le plan de la figure 3.

par **Rockleader** » 30 Oct 2012, 21:53

Désolé si je suis très très long à la détente, mais je ne crois pas avoir vu e_r dans l'énoncé si dans les schéma, du coup je ne sais absolument pas ce que cela représente

par **Benjamin** » 30 Oct 2012, 22:10

Pardon c'est de ma grande faute. Désolé je parle de e_r pour parler de e_rho Je ne suis plus trop disp la, à plus tard

par **Rockleader** » 30 Oct 2012, 22:35

Benjamin a écrit:Pardon c'est de ma grande faute. Désolé je parle de e_r pour parler de e_rho Je ne suis plus trop disp la, à plus tard

N'exagérons rien, si je ne faisais que ce genre de faute dinattention, j'aurais plus trop de soucis à me faire --'

Je ne suis pas sur non plus de la démarche à suivre.

Intuitivement j'aurais réécris la même chose que pour la base e_x ; e_z0, mais les sinus se serait transformé en - sinus puisque e_phi et e_z0 sont opposés.
e_x deviendrait e_p et e_z0 e_phi

soit

-L e_p [cos(phi(t))*phi(t)'²-sin(phi(t))*phi(t)''] - L e_phi [(sin(phi(t))*phi(t)'² + cos(phi(t))*phi(t)'']

Que je développerais si c'est la bonne forme

par **Benjamin** » 31 Oct 2012, 00:27

Tu as bien su écrire tout à l'heure que e_r = cos(a)u_x + sin(a)u_y.

Comment peux-tu arriver à e_x = e_p ? Regarde bien la figure 3. Je te donne le premier,
e_x=cos(phi)e_p - sin(phi)e_phi. Fais la même chose pour e_z0 et remplace alors tout simplement e_x et e_z0 dans a(t) = -L*e_x [cos(phi(t))*phi(t)'² + sin(phi(t))*phi(t)''] - L*e_z0 [-sin(phi(t)*phi(t)'² + cos(phi(t))*phi(t)'']

par **Rockleader** » 31 Oct 2012, 10:23

Benjamin a écrit:Tu as bien su écrire tout à l'heure que e_r = cos(a)u_x + sin(a)u_y.

Comment peux-tu arriver à e_x = e_p ? Regarde bien la figure 3. Je te donne le premier,
e_x=cos(phi)e_p - sin(phi)e_phi. Fais la même chose pour e_z0 et remplace alors tout simplement e_x et e_z0 dans a(t) = -L*e_x [cos(phi(t))*phi(t)'² + sin(phi(t))*phi(t)''] - L*e_z0 [-sin(phi(t)*phi(t)'² + cos(phi(t))*phi(t)'']

Ce n'est pas e_ qui me posait problème, j'ai bien trouvé cela, je l'ai surement très mal expliqué mais j'avais bien ça, c'est bel et bien pour e_z0 que je bloque, je vais essayer de m'expliquer un peu mieux:

Pour e_x on voit clairement que (e_x;e_p) forment un angle phi; mais pour (e_z0;e_p) pn ne connait pas l'angle. On pourrait supposer (e_z0;e_p) est un angle droit, mais ça ne serait que suppositions

En faisant cette supposition là on aurait

e_z0 = cos (pi/2 + phi)e_p - sin(pi/2 + phi)e_phi

par **Benjamin** » 31 Oct 2012, 10:32

Bonjour,

Ce n'est pas des suppositions, il y a bien un angle droit entre e_x et e_z0 !
Déjà, c'est écrit dans l'énoncé : "R : repère orthonormé direct (0,e_x,e_y,e_z=e_z0)".
Ensuite, par construction, de toute façon, tu sais que R est construit depuis R0 par une rotation d'angle theta autour de e_z.

Ton expression de e_z0 est juste. Remplace tes cos(pi/2+phi) et sin(pi/2+phi) par ce qu'il faut et écris moi a. Je pense qu'on voit le bout de cette question 2 ;)

par **Rockleader** » 31 Oct 2012, 11:14

Benjamin a écrit:Bonjour,

Ce n'est pas des suppositions, il y a bien un angle droit entre e_x et e_z0 !
Déjà, c'est écrit dans l'énoncé : "R : repère orthonormé direct (0,e_x,e_y,e_z=e_z0)".
Ensuite, par construction, de toute façon, tu sais que R est construit depuis R0 par une rotation d'angle theta autour de e_z.

Ton expression de e_z0 est juste. Remplace tes cos(pi/2+phi) et sin(pi/2+phi) par ce qu'il faut et écris moi a. Je pense qu'on voit le bout de cette question 2

Ce calcul ferait perdre la tête à n'importe qui

Pour l'instant je n'ai remplacé que la première partie de l'accélération je m'occuperais de remplacer et calculer la partie de e_z0 après, sinon je n'y verriais plus rien =)

Pour le moment, je ne vois pas l'ombre d'une simplification, je sais ps trop si c'est normal, ça partira surement avec la seconde partie...

Bref pour le moment j'ai

par soucis de lisibilité je vais omettre le fait que phi est une fonction phi(t) va devenir phi =)

[-Lcos(phi)e_p][cos(phi)*phi'²] + [-Lcos(phi)e_p][sin(phi)*phi''] + [Lsin(phi)e_p][cos(phi)*phi'²] + [Lsin(phi)e_p][sin(phi)*phi'']

Pas l'ombre d'une simplification en vue .... ça c'était le développement de -Le_x ( .....)

Je dois m'absenter surement pour le reste de la journée, je tenterais de terminer ce calcul ce soir tant bien que mal^^

par **Benjamin** » 31 Oct 2012, 12:58

Oui, c'est ça. Tu feras gaffe à la faute de frappe. Ton troisième et quatrième e_p est en fait un e_phi. Ca te donne donc si on agence un peu :

a.e_x = -L.[cos²(phi)*phi'²+cos(phi)*sin(phi)*phi''].e_p
+ L.[cos(phi)*sin(phi)*phi'²+sin²(phi)*phi''].e_phi

Tu fais la même chose pour l'autre partie, tu obtiendras un truc du même style.
Et en mettant les 2 ensembles, il y aurait des choses qui s'annulent et des choses qui se simplifient via cos²+sin²=1.

Normalement à la fin, tu n'auras plus qu'un seul terme devant e_p et un seul terme devant e_phi, et plus aucun cos(phi) ou sin(phi).

par **Rockleader** » 01 Nov 2012, 14:51

Désolé de ne pas être plus rapide, mais j'ai pas vraiment le temps de travailler en ce moment, je viens à peine de calculer en vitesse la seconde partie que je n'ai pas arrangé en facteur de e_p et e_phi.

Pour la seconde partie j'ai

[-Lcos(pi/2 + phi)e_p][-sin(phi)*phi'²] + [-Lcos(pi/2+phi)e_p][cos(phi)*phi''] + [Lsin(pi/2+phi)e_phi][-sin(phi)*phi'²] + [Lsin(pi/2+phi)e_phi][cos(phi)*phi'']

J'ai bien pris note des fautes de frappes pour la première partie, effectivement sur mon brouillon, mon phi était devenu un p --' du coup en recopiant...

Je n'ai pas encore eu le temps de mener le calcul à son terme, faut dire que c'est assez gros comme truc, et j'ai un peu de mal à voir des simplification sur 4 lignes --' En plus, il va falloir décomposer les cos et sin pi/2 + phi en quatre terme, du coup ça va être encore plus long.

Serait il possible d'avoir directement le résultat de cet affreux calcul ? Manière de pouvoir avancer, quitte à ce que je vérifie par moi même si je tombe bien sur le même résultat une fois que j'aurais un peu plus de temps.

par **Benjamin** » 01 Nov 2012, 15:50

Ca ne sera pas plus gros que ce que l'autre terme. Remplace les sin pi/2 + phi et les cos pi/z + phi.. Écris sous la même forme que dans mon precendent message. Ensuite, somme les 2. Courage, tu n'es plus très loin. Tu dois savoir mener un calcul de ce type jusqu au bout !!

par **Benjamin** » 01 Nov 2012, 18:08

Tu t'en sors ?

par **Rockleader** » 01 Nov 2012, 19:08

Benjamin a écrit:Tu t'en sors ?

Désolé comme je t'ai dis, j'ai très peu de temps libre en ce moment, mais je suis enfin rentré !

Après calcul et simplification du tout, j'en arrive à

-L(cos²(phi)*phi²' - sin²(phi)*phi²') e_p - L( cos²(phi)*phi'' - sin²(phi)*phi'') e_phi

J'ai du me planter au niveau d'un signe qqpart, parce que je tombe sur du cos² - sin² au lieu du cos²+sin² donc je peux pas vraiment le simplifier ...

par **Benjamin** » 01 Nov 2012, 19:15

Oui, tu t'es planté sur un signe. Parce que sinon, c'est à peu près ça

Je sais pas si ça vient de là, mais cos(pi/2+phi) = -sin(phi) et sin(pi/2+phi)=cos(phi).

La réponse finale, c'est -L*phi'²*e_p + L*phi''*e_phi. Tu vois que ça a une meilleure tête ^^

par **Rockleader** » 01 Nov 2012, 20:23

Benjamin a écrit:Oui, tu t'es planté sur un signe. Parce que sinon, c'est à peu près ça
Je sais pas si ça vient de là, mais cos(pi/2+phi) = -sin(phi) et sin(pi/2+phi)=cos(phi).

La réponse finale, c'est -L*phi'²*e_p + L*phi''*e_phi. Tu vois que ça a une meilleure tête ^^

Non ça je l'ai bien mis, l'erreur vient pas de là...

Mais bon sur ce genre de calcul l'important c'est la démarche et pas le résultat final. (enfin c'est mieux quand on trouve le bon résultat quand même --')

par **Benjamin** » 02 Nov 2012, 00:26

Tu arrives à faire la question 3, c'est bon ?

par **Rockleader** » 02 Nov 2012, 10:22

Benjamin a écrit:Tu arrives à faire la question 3, c'est bon ?

Pour la 3, je suis pas trop sur non plus, la seule force qui s'applique ici c'est bien le poids ? Ou bien l'on en considère une autre ? (Je ne pense pas vu que le solide étudié est un point, tout ce qui est lié au frottement est donc négligeable)

On aurait donc

m.a = P = m.g

On remplace le a que l'on a trouvé, et l'on projette g sur e_phi (que l'on a calculé plus haut à la question 1).

m(-L*phi²' e_p + L* phi'' e_phi) = m(-gcos(théta).sin(phi))

Mais il y a la partie -L*phi'² e_p qui me gène, du coup vu que c'est selon e_phi, est ce que l'on a carréent le droit de ne pas s'occuper de cette partie là de l'équation et de dire que dans le repère e_phi cette partie là ne joue pas ?

par **Mathusalem** » 02 Nov 2012, 10:32

Rockleader a écrit:Pour la 3, je suis pas trop sur non plus, la seule force qui s'applique ici c'est bien le poids ? Ou bien l'on en considère une autre ? (Je ne pense pas vu que le solide étudié est un point, tout ce qui est lié au frottement est donc négligeable)

On aurait donc

m.a = P = m.g

On remplace le a que l'on a trouvé, et l'on projette g sur e_phi (que l'on a calculé plus haut à la question 1).

m(-L*phi²' e_p + L* phi'' e_phi) = m(-gcos(théta).sin(phi))

Mais il y a la partie -L*phi'² e_p qui me gène, du coup vu que c'est selon e_phi, est ce que l'on a carréent le droit de ne pas s'occuper de cette partie là de l'équation et de dire que dans le repère e_phi cette partie là ne joue pas ?

La partie de droite, c'est quoi ?

par **Rockleader** » 02 Nov 2012, 10:57

Je n'ai pas compris ce que tu voulais me demander par "la partie de droite"

par **Benjamin** » 02 Nov 2012, 11:14

Rockleader a écrit:la seule force qui s'applique ici c'est bien le poids ?

Non ! Même si ça ne changera pas la projection suivant e_phi il faut que tu arrives à la voir.

Connais-tu les diagrammes objets / actions ? C'est un truc qui va ressembler à ça :

Ca aide à ne pas oublier de force. Essaie de retenir ceci, c'est important :
1 - des systèmes qui sont en contact mécanique peuvent échanger des efforts entre eux
2 - les 2 seules forces qui agissent à distance et non par contact sont : les forces de gravité et les forces électromagnétiques

Pour réussir à bien identifier les forces qui agissent sur un objet, il faut répertorier sans en oublier (et sans en ajouter) les autres objets en contact avec lui et ensuite regarder parmi les 2 forces de distances celles qui agissent ou non.

Ici, ton poids M est en contact mécanique avec qui ?
Est-ce qu'une force de gravité agit sur M ?
Est-ce qu'une force électromagnétique agit sur M ?

Le plus dur dans l'application de la 2ème loi de Newton, c'est de réussir à lister l'ensemble des forces qui agit sur le système

Il est classique d'en oublier ou d'en rajouter, donc essaie d'être rigoureux sur cet aspect là.
Enfin, n'oublie pas un autre point super important. Il faut être dans un référentiel galiléen pour appliquer la 2ème loi de Newton (il est possible de l'appliquer dans un référentiel non galiléen, tu devrais voir ça plus tard en cours, mais dans ce cas, il faut prendre des précautions et rajouter des forces dites inertielles en plus de celle dont je parle plus haut, mais n'anticipons pas).

Etude théorique du mouvement d'un pendule

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