Etude théorique du mouvement d'un pendule
par Rockleader » 03 Nov 2012, 10:16
Pardon, hier j'avais du monde chez moi, j'ai posté un peu vite..sin(phi) vaut phi pour un phi petit
Donc oméga ² = gcos(théta)/L
Et la période T vaut 2pi/oméga
Donc oméga ² = gcos(théta)/L
Et la période T vaut 2pi/oméga
Cette histoire est entièrement vraie puisque je l'ai inventé du début à la fin !
par Rockleader » 03 Nov 2012, 12:56
Benjamin a écrit:Ok, pas de soucis. C'est ca, tu peux continuer.
Pour la question 5, le second membre de l'équation différentielle est 0. La solution homogène est donc la solution générale de l'équation.
phi'' +w² phi = 0
La forme de la solution serait donc
Ke^-w² ???
J'ai un doute, il va falloir que je revois comment on trouve les solutions homogène et particulières d'une équa diff
Cette histoire est entièrement vraie puisque je l'ai inventé du début à la fin !
par Benjamin » 03 Nov 2012, 14:03
Effectivement, ce n'est pas tout à fait ca. Pour essayer de "sentir" les choses, enleve d'abord le w2. Tu as alors que phi" = -phi. On cherche donc une fonction que si on la dérive 2 fois, on retombe sur son opposée. Ca ne peut pas être exponentielle puisque dans ce cas, on aurait phi" = phi. Est-ce que tu vois une fonction qui pourrait marcher ?
par Rockleader » 03 Nov 2012, 16:54
cosinus(phi) '' = - cos(phi)
De plus oméga ne contient pas de phi, c'est donc une constante.
Donc la forme de solution que l'on cherche ce serait - oméga² * cos(phi)
De plus oméga ne contient pas de phi, c'est donc une constante.
Donc la forme de solution que l'on cherche ce serait - oméga² * cos(phi)
Cette histoire est entièrement vraie puisque je l'ai inventé du début à la fin !
par Mathusalem » 03 Nov 2012, 18:07
Rockleader a écrit:cosinus(phi) '' = - cos(phi)
De plus oméga ne contient pas de phi, c'est donc une constante.
Donc la forme de solution que l'on cherche ce serait - oméga² * cos(phi)
hmm... Attention par rapport à quoi tu dérives. Mais de plus, je te ferais remarquer que
Ta solution ne satisfait pas
Il faut jouer avec
par Benjamin » 03 Nov 2012, 19:27
Re,
Math a déjà dit pas mal. En effet, cos marche bien pour phi" = - phi. Maintenant, pour le omega, faut réfléchir un peu plus ;) Pense aux dérivés de fonctions composées.
Math a déjà dit pas mal. En effet, cos marche bien pour phi" = - phi. Maintenant, pour le omega, faut réfléchir un peu plus ;) Pense aux dérivés de fonctions composées.
par Rockleader » 03 Nov 2012, 20:10
Je comprends ce qui cloche...mais je suis un peu dans le flou, j'arrive pas à voir de fonction qui fasse ça.
C'est surement évident, mais je la vois pas...
C'est surement évident, mais je la vois pas...
Cette histoire est entièrement vraie puisque je l'ai inventé du début à la fin !
par Mathusalem » 03 Nov 2012, 20:45
J'ai l'impression que t'as des oursins sur tes stylos et sur tes papiers :ptdr:
Faut essayer un peu avant de dire que tu ne vois pas !
On est bien d'accords que le genre de fonction comme
x(t) = cos(t)
était un bon début.
Un gros indice :
x(t) = cos(t) = cos(1*t)
Il se passe quoi avec x''(t) si c'est pas 1*t, mais 2*t ?
Faut essayer un peu avant de dire que tu ne vois pas !
On est bien d'accords que le genre de fonction comme
x(t) = cos(t)
était un bon début.
Un gros indice :
x(t) = cos(t) = cos(1*t)
Il se passe quoi avec x''(t) si c'est pas 1*t, mais 2*t ?
par Rockleader » 03 Nov 2012, 20:49
on obtient -2²cos(2t)
Donc ce que l'on cherche c'est cos(wt)
Mais quand je disais que je voyais pas je plaisante pas..., j'étais aller chercher d'autres hypothèses farfelus en cherchant cos(t) * une autre fonction...
Donc ce que l'on cherche c'est cos(wt)
Mais quand je disais que je voyais pas je plaisante pas..., j'étais aller chercher d'autres hypothèses farfelus en cherchant cos(t) * une autre fonction...
Cette histoire est entièrement vraie puisque je l'ai inventé du début à la fin !
par Mathusalem » 03 Nov 2012, 21:20
Rockleader a écrit:on obtient -2²cos(2t)
Donc ce que l'on cherche c'est cos(wt)
Mais quand je disais que je voyais pas je plaisante pas..., j'étais aller chercher d'autres hypothèses farfelus en cherchant cos(t) * une autre fonction...
Exactement. Mais cos(wt) c'est quoi dans ton problème ?
par Rockleader » 03 Nov 2012, 21:41
Aucun mais je n'y avais pas pensé...
Cette histoire est entièrement vraie puisque je l'ai inventé du début à la fin !
par Mathusalem » 03 Nov 2012, 23:14
Mathusalem a écrit:Exactement. Mais cos(wt) c'est quoi dans ton problème ?
Je réitère : pourquoi on t'a fait trouver cette fonction ? Elle répond a quel genre d'équation ? Où trouves-tu une telle équation dans ton problème ?
par Rockleader » 04 Nov 2012, 09:04
Mathusalem a écrit:Je réitère : pourquoi on t'a fait trouver cette fonction ? Elle répond a quel genre d'équation ? Où trouves-tu une telle équation dans ton problème ?
Je vois pas trop ce que tu cherches à me faire dire là =) On en trouve un peu partout du coninus dans ce problème.
Pour pour la question 5: on cherche au bout de combien de temps le pendule s'arrête.
Lorsque le pendule s'arrête si je ne m'abuse l'accélération sera nulle, donc on cherche le t pour lequel
-w²*cos(wt) = 0
Soit (-gcos(théta)*cos(wt))/ L = 0
Soit le numérateur = 0
cos(-gcos(théta)t) = gcos(théta)
soit d'après la parité : cos(gcos(théta)t) = gcos(théta)
Arrivé là je ne sais plus vraiment comment continuer: est ce que j'ai le droit de dire que
cos( g * .....) = gcos(....) ?
Cette histoire est entièrement vraie puisque je l'ai inventé du début à la fin !
par Benjamin » 04 Nov 2012, 09:57
Salut. Il manque une étape avant de finir la question 4. Quelle est la dérivée de ln(x) et quelle est la dérivée de ln(5x) par exemple ? Normalement, tu es censé savoir que plusieurs fonctions peuvent avoir la même derievee. Pour trouver les solutions de lequa diff, il faut trouver la "famille" des fonctions pour lesquelles ca marche. Si ca marche pour cos(wt) ca marche aussi pour ?
par Rockleader » 04 Nov 2012, 10:36
Benjamin a écrit:Salut. Il manque une étape avant de finir la question 4. Quelle est la dérivée de ln(x) et quelle est la dérivée de ln(5x) par exemple ? Normalement, tu es censé savoir que plusieurs fonctions peuvent avoir la même derievee. Pour trouver les solutions de lequa diff, il faut trouver la "famille" des fonctions pour lesquelles ca marche. Si ca marche pour cos(wt) ca marche aussi pour ?
La dérivé de ln(5X) c'est 5/5x soit 1/x
Si je ne m'abuse ça marche aussi avec le sinus ? Mais, je ne saurais pas donné un nom à cette famille de fonction...enfin si c'est des fonctions trigo, mais, l'exprimer de façon générale je ne vois pas, en fait il s'agit ssoit de la partie réelle d'une exponentielle soit de sa partie imaginaire...
Cette histoire est entièrement vraie puisque je l'ai inventé du début à la fin !
par Benjamin » 04 Nov 2012, 11:03
Oui, ca marche aussi pour le sinus effectivement. Avec mon exemple de ln(x) et ln(5x), je voulais te montrer qu'il y a des constantes qu'on peut rajouter sans modifier la dérivée de la fonction. Quand on a une équation différentielle d'ordre (n), on a généralement n constantes "inconnues" à rajouter dans l'expression de la fonction, constantes que l'on trouve grâce aux conditions initiales.
Tu dois connaitre ton cours sur la résolution des équa diff, c'est la base !!!
Par exemple, la solution du y'+1/tau*y=0, c'est K*exp(-t/tau) avec K une constante. En effet, la dérivée de y(t)=K*exp(-t/tau), c'est -K/tau*exp(-t/tau)=-1/tau*y(t) quel que soit K. Et si on connait y(0), on a K*exp(0) = y(0) et donc K=y(0).
Ici, c'est un peu la même chose. Les solutions générales de l'équation y"+omega²*y=0, c'est les fonctions du type A*cos(wt) + B*sin(wt) avec A et B des constantes à déterminer grâce à y(0) et y'(0) (ou alors C*cos(wt+psi) avec C et psi des constantes à déterminer grâce à y(0) et y'(0) : je te laisse montrer que c'est la même chose grâce à cos(a+b) = cos(a)cos(b)-sin(a)cos(b)).
L'énoncé te donne les conditions initiales "le pendule et laché sans vitesse initiale d'un angle (phi 0)" donc phi(0) = C*cos(0+psi) = phi_0 et phi'(0)=.... je te laisse finir. Trouve C et psi.
Tu dois connaitre ton cours sur la résolution des équa diff, c'est la base !!!
Par exemple, la solution du y'+1/tau*y=0, c'est K*exp(-t/tau) avec K une constante. En effet, la dérivée de y(t)=K*exp(-t/tau), c'est -K/tau*exp(-t/tau)=-1/tau*y(t) quel que soit K. Et si on connait y(0), on a K*exp(0) = y(0) et donc K=y(0).
Ici, c'est un peu la même chose. Les solutions générales de l'équation y"+omega²*y=0, c'est les fonctions du type A*cos(wt) + B*sin(wt) avec A et B des constantes à déterminer grâce à y(0) et y'(0) (ou alors C*cos(wt+psi) avec C et psi des constantes à déterminer grâce à y(0) et y'(0) : je te laisse montrer que c'est la même chose grâce à cos(a+b) = cos(a)cos(b)-sin(a)cos(b)).
L'énoncé te donne les conditions initiales "le pendule et laché sans vitesse initiale d'un angle (phi 0)" donc phi(0) = C*cos(0+psi) = phi_0 et phi'(0)=.... je te laisse finir. Trouve C et psi.
par Rockleader » 04 Nov 2012, 13:00
On est pas obligé de passer par la forme avec psi non ? Je me sens pas très à l'aise sur celle là, je préfère la première qui est plus compréhensible par rapport au problème il me semble.
A*cos(wt) + B*sin(wt) que je vais noter U
On sait que U' doit être égal à 0
-Awsin(wt) + Bwcos(wt) = 0 ???
Bw cos(wt) = Aw sin(wt)
B cos(wt) = A sin(wt) (1)
B = tan (wt) ?????
On remplace B dans (1) ce qui nous fait*cos(wt)}{cos(wt)} = A*sin(wt))
Soit sin(wt) = A sin(wt) Donc A = 1.
Je ne sais pas si ce que j'ai fais se tiens...
A*cos(wt) + B*sin(wt) que je vais noter U
On sait que U' doit être égal à 0
-Awsin(wt) + Bwcos(wt) = 0 ???
Bw cos(wt) = Aw sin(wt)
B cos(wt) = A sin(wt) (1)
B = tan (wt) ?????
On remplace B dans (1) ce qui nous fait
Soit sin(wt) = A sin(wt) Donc A = 1.
Je ne sais pas si ce que j'ai fais se tiens...
Cette histoire est entièrement vraie puisque je l'ai inventé du début à la fin !
par Benjamin » 04 Nov 2012, 14:30
Tu peux effectivement faire avec la forme Acos(wt)+Bsin(wt) si tu préfères.
Y a de l'idée, et ça commençait plutôt bien mais ce n'est pas encore tout à fait ça.
On ne peut pas dire que U' = 0 tout le temps. Si c'était le cas, ça voudrait dire que quel que soit le temps t, la vitesse est nulle (phi' représente bien la vitesse angulaire du pendule) et donc qu'il reste immobile tout le temps.
On dit bien, "il est lâché sans vitesse initiale". C'est l'instant de départ où U' = 0.
Je te laisse reprendre à partir de U' = -Asin(wt) + Bcos(wt).
Or, U'(t=...) = .... donc ..... donc B= .... Et avec U(t=...) tu trouves A.
Y a de l'idée, et ça commençait plutôt bien mais ce n'est pas encore tout à fait ça.
On ne peut pas dire que U' = 0 tout le temps. Si c'était le cas, ça voudrait dire que quel que soit le temps t, la vitesse est nulle (phi' représente bien la vitesse angulaire du pendule) et donc qu'il reste immobile tout le temps.
On dit bien, "il est lâché sans vitesse initiale". C'est l'instant de départ où U' = 0.
Je te laisse reprendre à partir de U' = -Asin(wt) + Bcos(wt).
Or, U'(t=...) = .... donc ..... donc B= .... Et avec U(t=...) tu trouves A.
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