Etude théorique du mouvement d'un pendule

[Rockleader]

Si tu prends le plan incliné d'un angle theta, un vecteur du plan constitue l'adjacent, et la gravité l'hypothénuse. Fais un dessin. Tu vas trouver que la projection de g, (ou d'un autre vecteur vertical) c'est simplement g cos(theta) dans le plan. La en l'occurence, un vecteur du plan, c'est e_x (image 3). Mais on s'en fiche, la projection de g dans le plan, donc en particulier sur e_x, c'est g cos(theta).

Ah oui d'accord, j'ai pas pensé à la trigo, effectivement, g correspond à l'axe vertical on a donc

costhéta = ex/g






Bon, en suite, pour le second plan, j'ai un peu plsu de mal à visualiser, il me semble que c'est le sinus qui va varier


So on applique le sinus à la figure 3, on a

sin phi = ephi / ex

sin phi = ephi / gcos théta

ephi = g.cos(théta).e(phi)


Problème, je serais censé trouvé un signe négatif...d'où vient le problème ?

[Mathusalem]

Ah oui d'accord, j'ai pas pensé à la trigo, effectivement, g correspond à l'axe vertical on a donc

costhéta = ex/g

A partir de là, sur la figure 3, tu as un vecteur qui descend le long de e_x de norme gcos(theta).

Là, t'es déjà dans le plan.

Donc maintenant, cette accélération, quand tu la projettes sur e_phi (donc tu projettes sur l'opposé, en termes trigo) ça te fait sortir un sin(phi). Sauf que quand tu projettes, la projection se trouve dans le sens opposé du sens que l'on a posé pour e_phi - encore une fois, fais le dessin. Donc t'as un signe moins.

C'est cette composante qui tend à faire revenir le pendule au centre.

gcos(theta)cos(phi) est le long de la barre du pendule (e_rho). Mais cette barre est rigide, donc tu t'en fiches, tu sais que l'accélération nette le long de la barre sera nul, car la tension de la barre viendra annuler l'accélération dûe à la gravité [ gcos(theta)cos(phi) ]. C'est pourquoi tu t'intéresses seulement à la composante e_phi pour déterminer le mouvement.

[Rockleader]

Ah, j'avais pas fait attention c'est vrai que sur le dessin, e phi et e zo sont dans le sens constraire.

Bon, et bien c'est bon pour cette question, je te fais signe si je bloque à nouveau !

[Rockleader]

On me demande l'expression du vecteur accélération de M ( donc g ???) par rapport au bati dans la base Bc.

Mais, ça ne serait pas ce que l'on a donné plus haut ?

On a commencé par g ans le plan P, puis on l'a projeté dans Bc non ?

Donc la question attend que l'on dise que à cet endroit g vaut -costhéta.sin phi ?

[Dlzlogic]

On me demande l'expression du vecteur accélération de M ( donc g ???) par rapport au bati dans la base Bc.

Mais, ça ne serait pas ce que l'on a donné plus haut ?

On a commencé par g ans le plan P, puis on l'a projeté dans Bc non ?

Donc la question attend que l'on dise que à cet endroit g vaut -costhéta.sin phi ?

Bonjour,
L'accélération en un lieu donné est une constante. Ca c'est une chance, sinon, imagez comment on marcherait d'un pas régulier. Avez-vous déjà marché sur un trampoline ?
Phi est une variable en fonction du temps. Lorsque le pendule passe au point 0 (identique à l'état d'équilibre) phi = 0. Lorsqu'il est à sa position maximum, vitesse nulle, phi = phi_max.
Donc l'accélération ne peut en aucun cas être fonction de phi. Et, à l'évidence, quelque soit phi_max, l'accélération est constante.
Une application importante de ce type de mesure est la gravimétrie. C'est à dire qu'en un point donné on mesure l'accélération (g#9.81) et on en déduit l'altitude réelle.

[Rockleader]

Hum, oui je comprends bien cela, pourtant, pour donner la valeur de la constante g, il me faudrait connaître le poids et la masse du point M considéré or on a pas ce type d'information, et quand bien même on les aurais, la masse d'un point serait négligeable, à moins qu'il n'y est une autre méthode...


Ou bien, l'on ne veut qu'une expression et la réponse serait donc tout bêtement P/m ... mais ça me parait un peu trop simpliste à ce niveau là...

[Dlzlogic]

Hum, oui je comprends bien cela, pourtant, pour donner la valeur de la constante g, il me faudrait connaître le poids et la masse du point M considéré or on a pas ce type d'information, et quand bien même on les aurais, la masse d'un point serait négligeable, à moins qu'il n'y est une autre méthode...


Ou bien, l'on ne veut qu'une expression et la réponse serait donc tout bêtement P/m ... mais ça me parait un peu trop simpliste à ce niveau là...

Quand on utilise un pendule, qu'est-ce qu'on connait, et qu'est-ce qu'on mesure ?
(Petite précision nécessaire : non, je suis pas radiesthésiste :ptdr: )

[Rockleader]

Quand on utilise un pendule, qu'est-ce qu'on connait, et qu'est-ce qu'on mesure ?
(Petite précision nécessaire : non, je suis pas radiesthésiste :ptdr: )

Je dirais que l'on mesure le temps que le pendule mettra à s'arrêter aprè l'avoir lâché depuis un certain point.

On connais théoriquement la masse du pendule, la hauteur à laquelle il est lâché, la longueur du fil aussi. Je vois pas autre chose, l'angle que va former le pendule en oscillant que l'on mesurera peut être aussi

[Dlzlogic]

Je dirais que l'on mesure le temps que le pendule mettra à s'arrêter aprè l'avoir lâché depuis un certain point.

Sûrement pas, les seuls pendules intéressants sont ceux qui n'ont pas de frottement, et de toute façon, on les néglige dans tout les cas. Je dirais même, et c'est important, ça n'a aucune importance qu'il finissent par s'arrêter, il suffit de leur donner un petit coup de pouce pour les relancer.

On connais théoriquement la masse du pendule, la hauteur à laquelle il est lâché, la longueur du fil aussi. Je vois pas autre chose, l'angle que va former le pendule en oscillant que l'on mesurera peut être aussi

L'angle qu'il va former en oscillant est très difficile à mesurer. Donc, on ne le fera pas.
La hauteur à laquelle il est lâché n'est pas très important, disons que c'est un autre sujet de discussion.
Donc la question reste posée, que mesure-t-on avec un pendule ? A quoi sert la machine que l'on voit sur la photo.
[hs]Il me parait surprenant que les programmes proposent des exercices et des TP si les élèves ne savant pas de quoi il s'agit, surtout en physique, en math, on peut mettre ça sur le compte de l'abstraction .[/hs]

[Rockleader]

Dans ce cas je dirais que l'on mesure la pulsation et la période du pendule ?


sinon langue au chat

[Benjamin]

Salut,

L'accélération de la pesanteur se traduit par une force. Projeter g permet en fait de projeter le poids qui est une force qui s'applique sur le pendule.

Ce qu'on te demande, c'est d'appliquer le principe fondamental de la dynamique pour trouver l'accélération à laquelle est soumise la masse M en fonction des forces qui s'appliquent sur ton pendule.

Ce que tu trouveras n'a a priori aucune raison d'être constant. Le résultat dépend de g, de l, de theta et de phi.

[Dlzlogic]

Ce que tu trouveras n'a a priori aucune raison d'être constant. Le résultat dépend de g, de l, de theta et de phi.

@ Benjamin, j'ai donc mal compris la question.

@Rockleader, Ce qu'on mesure avec un pendule, c'est la période. A part g, elle ne dépend que de la longueur, c'est ça l'intérêt de l'expérience. En tout cas c'est mon avis.
Mais, naturellement si la question posée est l'accélération à un instant donné, c'est une toute autre histoire, et à mon avis beaucoup plus difficile.

[Rockleader]

@ Benjamin, j'ai donc mal compris la question.

@Rockleader, Ce qu'on mesure avec un pendule, c'est la période. A part g, elle ne dépend que de la longueur, c'est ça l'intérêt de l'expérience. En tout cas c'est mon avis.
Mais, naturellement si la question posée est l'accélération à un instant donné, c'est une toute autre histoire, et à mon avis beaucoup plus difficile.

En fin de question 4, je dois en déduire la période, donc je pense que tu as bien compris la question.

Bon, au final je ne comprends toujours pas ce qui est attendu comme raisonnement pour la question 2.

[Benjamin]

Pour calculer la période, il faut connaite l'accélération de mon point de vue.

J'ajoute une petite précision.

Tu n'es pas forcément obligé de passer par le PFD. Tout dépend ce qu'on te demande exactement dans l'énoncé. En fait, quand je n'ai ni les questions amonts ni les questions avales, il m'est difficile de voir la philo de la préparation du TP.

Tu peux aussi dire que le pendule a un mouvement circulaire dans le repère R et donc en déduire son accélération dans la base Bc. Connais-tu l'expression de l'accélération dans le cas d'un mouvement circulaire ?

Je ne suis pas disponible ce soir, je ne me reconnecterai que vers 11H.

[Rockleader]

on me demande bien d'appliquer la loi fondamentale, mais seulement à la question 3 pour le moment je bloque sur la deux, ne comprenant pas vraiment ce que demande l'énoncé.

Tu peux aussi dire que le pendule a un mouvement circulaire dans le repère R et donc en déduire son accélération dans la base Bc. Connais-tu l'expression de l'accélération dans le cas d'un mouvement circulaire ?

Si c'était le cas, je pense que j'aurais déjà répondu à ma question 2 !

[Dlzlogic]

Bonsoir, je pense qu'il faudrait avoir l'énoncé exact.
Soit c'est un pendule simple avec de petites oscillation, soit c'est beaucoup plus compliqué.

[Mathusalem]

Bon je crois que je vais reprendre un peu tout ce qui a été dit plus haut :

1. Non l'accélération n'est pas constante. Dlzlogic, ce que tu dis n'a pas de sens lorsque tu considères le pendule à différents phi, et oui tu as bien compris le problème, mais ce que tu prétendais demeure faux.

2. Benjamin, je ne sais pas si l'on s'entend sur le problème. A ton avis, le pendule balaye des arcs de cercles ? dans le plan Oxy (l'axe du pendule étant l'axe z)

3. Dans le cas où c'est le mouvement tel que le dit Benjamin qui est de mise, et je crois bien que c'est celui-là ( et non pas un mouvement plan comme je le pensais - pour un mouvement plan theta n'est pas constant dans ce repère ) on doit faire plus attention.

4. Rockleader, quand tu dis 'sur cet axe, g vaut -cos(theta)sin(phi)', c'est faux. La projection du vecteur ge_z sur e_phi vaut, selon e_phi, -gcos(theta)sin(phi).

5. Ca c'est l'accélération pour e_phi. Maintenant, l'accélération totale n'est pas celle-là. Puisque Benjamin a raison sur la nature du mouvement (mouvement 'circulaire' sur un cône de theta constant), ben il faut faire gaffe à l'accélération centripète.

[Benjamin]

Bonsoir,

Je pense que tu ne m'as pas compris Mathusalem xD Mais c'est de ma faute. Le mouvement est bien circulaire dans le plan (e_x; e_z0), mais le point M ne décrit pas la totalité d'un cercle. Il n'en décrit qu'une portion. C'est cela qui a dû te perdre, désolé. Quant au repère R, j'ai repris le nom donné par l'énoncé, je n'y peux pas grand chose C'est le plan de la figure 3.

(Bc est une base et non un répère, il faut faire attention à ce point. Bc est la base du repère cylindrique au point M, qui se déplace dans R qui est galiléen. Si on prenait comme repère (M ;Bc), on aurait alors v=0 dans ce repère mais il ne serait plus galiléen.)

Bref, pour continuer, regardons donc la figure 3. De ce que tu me dis Rock, la quesiton 2 est une question de cinématique, pour passer à la dynamique à la quesiton 3.

Le point M décrit un mouvement sur un arc de cercle d'axe e_Y (donc de centre O) dans le plan (e_z0 ; ex)
On va donc d'abord trouver l'équation de la trajectoire de M dans ce plan, puis dériver 2 fois cette expression pour avoir l'accélération. Quelles sont les coordonnées du point M au cours du temps suivant e_x et e_z0 ?

Dérive 2 fois suivant e_x et suivant e_z0. Tu as alors les coordonnées de l'accélération dans le repère (e_z0 ; ex) (comprends-tu pourquoi ?)
On te demande d'exprimer cette accélération dans la base Bc. Tu dois donc exprimer les vecteurs e_z0 et e_x en fonction de e_r et e_phi. Tu peux alors obtenir la réponse à ta question 2.

Ensuite, la question 3. Quelles sont les forces qui agissent sur le point M ? Tu devrais voir qu'il y a une force dont tu ne connais pas encore l'intensité, mais on va voire que ce n'est pas grave.
Exprime le PFD dans le repère R qui est galiléen, mais en projetant dans la base Bc ton accélération (la question 2) et tes forces (la question 1 + qqch).

Tu as alors 2 équations : une suivant e_r et une suivant e_phi. Grâce au choix judicieux de la base Bc, tu peux voir que la force inconnue n'intervient pas dans l'une des équations.

Reste alors à exprimer l'accélération en fonction de g, L et theta.

(En bonus, tu peux exprimer l'intensité de la force inconnue gra;)e à l'autre équation maintenant si tu veux).

Pour la question 4, je suppose qu'on te dit que l'angle phi est petit et que tu peux alors considérer que sin(phi) = phi. Je te laisse finir.

Désolé, c'est un gros pavé mais je ne suis pas sûr d'être trop dispo pour t'aider demain dans la journée

Je suis sûr que Mathusalem ou d'autres pourront t'aider à finir si besoin. N'hésite pas à poser des questions sur ce que j'ai dit.

A+

[Rockleader]

Bon, je vais mettre l'énoncé exact je crois que c'est la meilleure solution :

La question 1 et 2 ont été donné plus haut.
3-Par application du PFD au point M projetté sur le vecteur unitaire e phi, montrer que l'équation différentielle du mouvement est :

mL(phi)" = -m(gcosthéta)sin phi(t)


4- EN supposant les amplitudes du mouvement d'oscillations faibles autour de la position d'équilibre stape phi = 0, montrer que l'équation précédente devient

phi " + (oméga)² + phi(t) = 0 avec oméga à déterminer en fonction de g, L et théta.

EN déduire la période T des oscillations en fonctions des mêmes paramètres




5- EN supposant que le pendule et laché sans vitesse initiale d'un angle (phi 0) donnez la forme de la solution pour phi(t)





6- AU bout de combien de temps le pendule s'arrête t'il ? (commentez)

Ps: comme quoi Dlzlogic dans ce problème ci on ne lui donne pas un coup de pouce pour le relancer^^





7- Exprimer les énergies cinétiques et potentielles du pendule en fonction de m, g, L, théta, phi et phi(t)'




8- Expliquer pourquoi le système est conservatif. A l'aide de la conservation de l'énergie, retrouvez l'équation différentielle trouvée à la question .







Voilà cette fois il y a tout.

[Benjamin]

Salut,

C'est bien ce que j'avais deviné comme cheminement

Passe donc à la question 2 ^^.

Quelles sont les coordonnées du point M au cours de son mouvement suivant e_x et e_z0 ?