Equation d’évolution de Schrödinger

[bschaeffer]

L'équation d’évolution de Schrödinger s'écrit, pour une particule libre de masse m:


Voir l'article de Schrödinger de Annalen der Physik, vol.81, 1926 (traduit en français sous le titre Mémoires sur la mécanique ondulatoire, 1933)

Pour la démontrer, Schrödinger part de l'équation stationnaire (il prend une masse unitaire m=1, ce que nous ne faisons pas ici)

E est le "paramètre d'énergie ou de fréquence". Il prend une onde monochromatique de fréquence

soit

D'où la dérivée

d'où

On peut donc remplacer psi dans l'équation stationnaire:

Après simplification, on obtient l'équation d'évolution:

Il semble qu'il y ait un problème dans cette démonstration. Quelqu'un en aurait-il connaissance?

[cesar]

Après simplification, on obtient l'équation d'évolution:

Il semble qu'il y ait un problème dans cette démonstration. Quelqu'un en aurait-il connaissance?

essayez de la resoudre....vous avez pris un psy qui ne depend pas de x...

[bschaeffer]

essayez de la resoudre....vous avez pris un psy qui ne depend pas de x...

Mais si, psi dépend de x et de t, c'était évidemment sous-entendu.

[Dominique Lefebvre]

Il semble qu'il y ait un problème dans cette démonstration. Quelqu'un en aurait-il connaissance?

Que veux-tu dire par là? Que la démonstration serait fausse ou incomplète? Ou bien fais-tu allusion à la note en bas de page 166 (Mémoires sur la mécanique ondulatoire de E.Schrödinger version française de 1933, §2 du Vol 81 des Annalen der Physik).

Je suppose bien sur que tu parles de l'équation de Schrödinger dépendante du temps,en mentionnant que ton écriture n'est pas tout à fait correcte...

[bschaeffer]

Que veux-tu dire par là? Que la démonstration serait fausse ou incomplète? Ou bien fais-tu allusion à la note en bas de page 166 (Mémoires sur la mécanique ondulatoire de E.Schrödinger version française de 1933, §2 du Vol 81 des Annalen der Physik).

Je n'ai plus le texte de Schrödinger sous les yeux, ayant rendu le livre, mais il a dit "admettons…".

Je suppose bien sur que tu parles de l'équation de Schrödinger dépendante du temps,en mentionnant que ton écriture n'est pas tout à fait correcte...

Je ne vois pas où est l'erreur d'écriture.
Pour obtenir l'équation indépendante du temps, il suffit de faire le calcul suivant fait, pour simplifier, dans le cas d'une particule libre. L'équation d'évolution s'écrit:


Avec une onde périodique, c'est-à-dire monochromatique, on a

avec

En dérivant , on a

d'où

Il suffit d'ajouter le potentiel pour obtenir l'équation stationnaire:

cqfd
Oui mais, il y a un os: ce calcul n'est valable que si on "approxime" l'énergie totale relativiste par l'énergie mécanique totale newtonienne.

[bschaeffer]

Je viens de relire ce que disait Schrödinger dans un article précédent (Sources et évolution de la physique quantique, p 109) où il ne donne pas l'équation d'évolution mais où il donne ses arguements. Son argument consiste, en substance, à dire que, dans les transitions, ce sont les différences de fréquences qui comptent. Donc, la différence entre les énergies totales mécaniques apparaissant dans les niveaux de Bohr est égale à la différence des fréquences, donc des énergies totales relativistes. Toutefois, je ne suis pas sûr d'avoir bien compris, d'autant que la plupart des ouvrages parachutent l'équation sans explication.

[Dominique Lefebvre]

Si tu examines de près les hypothèses simplficatrices de Schrödinger pour construire sa théorie, tu t'apercevras qu'elles sont ... très simplificatrices:

- il suppose être dans le cas non relativiste (l'introduction des vitesses relativistes dans l'équation dite "de Schrödinger" sont bien postèrieures, par Dirac)

- il se place dans le cas linéaire, sans production ou annihilation de particules.

D'autre part, Schrödinger introduit son équation dans une théorie phénoménologique : il exhibe une équation et vérifie que ses valeurs propres et fonctions propres collent aux expériences (qu'elle a une valeur prédictible). Il explique son raisonnement par analogie à la mécanique classique (équation des ondes et hamiltonien) dans le Vol 79 de Annalen der Physik (p20 des mémoires..).

Enfin, je n'ai pas écris qu'il y avait une erreur dans ton écriture, mais qu'elle n'était pas correcte. Pour que les lecteurs comprennent bien, il serait préférable d'écrire la forme entière de l'équation, en faisant apparaître toutes les variables. Personnellement, je fais apparaitre le laplacien dans le terme de droite (dans l'écriture conventionnelle) car il permet de discuter de l'analogie ondulatoire.

[bschaeffer]

Si tu examines de près les hypothèses simplficatrices de Schrödinger pour construire sa théorie, tu t'apercevras qu'elles sont ... très simplificatrices:

- il suppose être dans le cas non relativiste (l'introduction des vitesses relativistes dans l'équation dite "de Schrödinger" sont bien postèrieures, par Dirac)

- il se place dans le cas linéaire, sans production ou annihilation de particules.

D'autre part, Schrödinger introduit son équation dans une théorie phénoménologique : il exhibe une équation et vérifie que ses valeurs propres et fonctions propres collent aux expériences (qu'elle a une valeur prédictible). Il explique son raisonnement par analogie à la mécanique classique (équation des ondes et hamiltonien) dans le Vol 79 de Annalen der Physik (p20 des mémoires..).

Enfin, je n'ai pas écris qu'il y avait une erreur dans ton écriture, mais qu'elle n'était pas correcte. Pour que les lecteurs comprennent bien, il serait préférable d'écrire la forme entière de l'équation, en faisant apparaître toutes les variables. Personnellement, je fais apparaitre le laplacien dans le terme de droite (dans l'écriture conventionnelle) car il permet de discuter de l'analogie ondulatoire.

Voilà ce qu'en dit de Broglie:
Quand on développe la théorie d'une façon conforme aux idées relativistes, on doit égaler non pas à E, mais à l'énergie totale d'énergie interne (Louis de Broglie, Théorie de la quantification dans la nouvelle mécanique, Hermann, 1932, p 13)
Ceci doit rester vérifié, même dans le domaine non relativiste.