équation de diffusion et maple

[abel]

Bonjour,
Dans le cadre de mon TIPE, j'ai rencontré la difficulté suivante pour résoudre une équa-diff.
Celle ci provient de l'équation de diffusion thermique en symétrie cylindrique, régime variable.

Mon idée était d'écire que T(r,t)=T'(r)*exp(jwt) (en complexe) car le cylindre de rayon R est soumis à une puissance thermique à la pulsation w ce qui lui fait diffuser vers l'extérieur.
Ce qui donne en développant le laplacien sachant que T est indépendante de z et théta :


Mon souci est de trouver une méthode de résoudre numériquement cette équation (dans C) mais maple ne prend que des fonctions réelles...Ou alors il faudrait trouver une méthode qui évite de passer par les complexes...Le souci c'est que le pb reste une équation aux dérivées partielles...
Voilà, si certains ont des idées pr la résolution numérique, ou une autre méthode pour aborder le pb, je suis preneur
Merci à vous.

[cesar]

il existe des methodes numeriques : on discretise l'espace, on attribue à chaque point M une valeur de T(M) et on fait des DL qui donnent des derivées partielles. Ensuite on applique cela à l'équation ET aux conditions de bord. Cela donne un systeme linéaire dont les inconnues sont T(M). dit comme cela, c'est assez trouble, mais dans l'ensemble, cela marche. Le gros probleme vient que l'on est obligé de prendre un "pas" de discretisation. Plus il est petit, plus la matrice est grosse...

[abel]

Merci pour ta réponse.
Tu sais si une telle méthode est "disponible" sur maple (version 8 pour ma part) ? Car je ne suis pas spécialement doué en algorithme donc j'aimerais autant ne pas avoir à le faire moi même (d'autant plus que ça sortirait complètement de l'esprit de mon tipe qui n'a rien à voir avec l'info ou les maths). Le souci supplémentaire est que mes conditions aux limites sont la valeur de T en R (connu) et sa limite en +oo...Du coup ça complique encore plus le problème...Voilà, si d'autres ont des idées je suis preneur.
Merci.

[cesar]

Merci pour ta réponse.
Tu sais si une telle méthode est "disponible" sur maple (version 8 pour ma part) ? Car je ne suis pas spécialement doué en algorithme donc j'aimerais autant ne pas avoir à le faire moi même (d'autant plus que ça sortirait complètement de l'esprit de mon tipe qui n'a rien à voir avec l'info ou les maths). Le souci supplémentaire est que mes conditions aux limites sont la valeur de T en R (connu) et sa limite en +oo...Du coup ça complique encore plus le problème...Voilà, si d'autres ont des idées je suis preneur.
Merci.

je ne connais pas maple 8, mais elle était sur les premiers logiciels mathématica. Je ne serais pas surpris qu'elle soit parmi les fonctions disponibles. La methode que je t'ai cité, est des plus classique.

[abel]

Je te remercie, je vais voir ça avec qqun qui s'y connait un peu plus que moi en maple.
Est ce qu'avec on peut déterminer des fonctions à valeur dans C ou ça ne marche que dans IR ? car dans maple, mon pb serait simple s'il n'y avait pas ce coefficient complexe.

[Franck75019]

Sinon tu peux utiliser la transformée de Laplace.

[abel]

Sinon tu peux utiliser la transformée de Laplace.

Je l'utilise effectivement en SI pour des équa diff à coefficients constants reels mais aucune théorie ne nous a été présentée ; seulement des recettes pour reconnaitre des formes de fractions rationnelles qui nous permettent de repasser dans le domaine temporel.
Mais là, je ne vois pas comment cela pourra m'être utile. Peux tu préciser ?
Merci.

[Franck75019]

La transformée de Laplace est fréquemment utilisée pour résoudre des équadiff rapidement.

en effet si L(f) est la transformee de Laplace de la fonction f ( s etant le parametre de laplace)

alors L(f')=sL(f) - f(0).
L(f")=s²L(f) -sf(0) - f'(0). avec ça tu transforme toute ton équation et ensuite après avoir tout regroupé tu fais laplace inverse et tu obtient le résultat.
Mais faut vraiment bien manipuler la transformation de laplace pour y arriver. Si tu es en sup c'est normal que tu ne vois pas comment faire.
faut juste que tu connaisse les conditions limites et c'est bon!

[Franck75019]

Ici tu traite un cas de conduction suivant l'équation de fourier
c'est bien ça?

[Franck75019]

PS:

Si t'as d'autres questions en thermique n'hésite pas, je suis étudiant en ingénierie aéronautique et j'ai fait pas mal de thermique tout au long de l'année.

[abel]

Je suis étudiant en PSI, en fait je m'interesse à la météorologie notamment aux mvts atmosphériques engendrés par le chauffage sinusoidal d'une zone cylindrique (en fait mon pb est un pb plan car la hauteur de ce cylindre est une unité de longueur) et donc à la diffusion thermique, pour ensuite déterminer le champ de pression (notamment le gradient de pression) et donc le champ des vitesses.
Je connais les règles de calculs pr la transformée de Laplace, cependant je vois mal comment l'appliquer dans le cas d'une équation à coefficient variables et complexes (enfin le pb sera de faire la transformée inverse car les seules transformée que je sais reconnaitre sont celles de fonctions usuelles telles que cos, sin, exp...qui ne sont certainement pas solution de mon équa diff)...C'est pourquoi je pensais me tourner vers une résolution numérique en postulant une solution de l'EDP de départ, qui me semble physiquement acceptable...Le souci est l'introduction du jw à cause de la dérivée temporelle, que mon logiciel de calcul formel ne sait apparemment pas traîter.
En tous cas merci de répondre à mon pb. :zen:

PS : oui, mon équation de départ est une conséquence de la conservation de l'energie et de l'equation de Fourier.
Sinon tu es dans quelle école (les écoles en aéronautique m'interessent) ?

[Franck75019]

normalement une fois que t'obtiens ton résultat en laplace tu fais une décomposition en élément simples et tu retombes sur les cas simples.
J'ai une question sinon, ;) est constant ou pas, pask le fait kil y ait des complexes ça pose pas de problèmes normalement.
Mais je vais essayer de te trouver une solution. Je te déposerais une réponse dans 2 jours, parce que je sais pas si j'aurais le temps avant le 8.
Sinon Maple c'est pas mal mais matlab je pense que c'est mieux!

PS: c'est mieux de faire apparaitre a, a=;)/;)C ce qu'on appelle le coeff de diffusivité thermique. ;)

De mémoire il me semble que ce soit un profil parabolique mais faut que je vérifie


Je suis à l'IPSA c'est une école privée.

[Franck75019]

Bon j'ai vérifié , il faut bien passer par les transformée de Laplace et le résultat est donné par une fonction erreur :erf.
le profil de temperature dépends cependant de tes conditions limites.

PS: adresses toi aux pros des maths sur le forum maths supérieur et je pense qu'ils répondront à ta question d'une manière différente de Laplace.

[abel]

Bonjour
En fait mon souci avec laplace c'est que mon equa diff possède un coeff variable : 1/r (cpdt, le w est une constante) et je ne crois pas que ca soit souhaitable (enfin d'après ce que je connais).
En tous cas, merci pour ton aide, c'est sympa. Je vais essayer de voir ça avc mon prof de maths.