Je l'observe tous les jours quand je monte dans le train.
u, la densité de gens (#personnes au metre carré, pour fixer les idées).
Tous les sièges sont vides, donc dans l'espace du wagon, il y a des zones de densité nulle (les sièges) et la fonction de densité de personnes (qu'on veut bien faire un effort et imaginer continue) a des maxima locaux là où les gens se trouvent entassés.
Les gens tendent à spontanément équilibrer la fonction de densité dans le wagon. Là ou il y a beaucoup de gens entassés, les gens vont se bouger vers les zones vides (sièges) pour ne pas être entassés, mais ils vont pas spontanément aller là, où il y a déjà 3 personnes d'assises sur les sièges à 4, ils vont aller là où il n'y a personne, ou moins de personnes.
Donc, l'équation décrit ce qui se passe phénoménologiquement lorsque l'on a des zones à densité [de matière, energie, molarité, etc..] variables, sans pour autant toucher au mécanisme sous-jascent qui fait que ce réquilibrage des densités a lieu.
en fait, c'est pas si evident que ca, meme en une dimension, je trouve que c'est une equation pas facile a comprendre , peut etre apres une bonne nuit de sommeil.
En rebondissant sur ma dernière phrase, j'ai l'impression que tu veux comprendre intuitivement ce qu'il se passe. Dans le cas du wagon, le mécanisme sous-jascent du rééquilibrage est assez clair : les gens veulent minimiser leur désagrément - être collés aux autres gens. Sauf qu'il faut traduire cela en langage physique, et intuitivement l'équation de diffusion peut se ramener à un principe de maximisation de l'entropie qui constitue la deuxième loi de la thermodynamique. Il y a plus de microétats équivalents lorsque la matière est uniformément distribuée que lorsqu'elle est ammassée, donc ton système va, de manière thermodynamique, tendre vers cet état.
Vu que c'était qu'une intuition, j'ai fait une recherche rapide sur google, et on peut effectivement dériver l'équation de diffusion (un truc qui y ressemble très fort) en partant du principe de maximum d'entropie.
Je comprends que cela peut ne pas paraître satisfaisant : Pourquoi la fonction de densité tend à s'équilibrer dans l'espace ? -> Parce que le système maximise l'entropie - Mais, pourquoi le système maximise l'entropie ? -> ...
Ma conviction est que tu pourrais tout expliquer en prenant ton système de 10^23 particules qui intéragissent, écrire toutes les interactions entre ces particules, avoir ton système de 10^23 équations dynamiques couplées, et voir qu'en effet, là où il y'avait un ammas de particules, en avançant dans le temps, l'amas s'est défait et éparpillé dans l'espace. Sauf que ça, c'est pas possible de le calculer, et c'est pour cela que t'as besoin de descriptions macroscopiques de ton système (une fonction de densité, et pas 10^23 equations de Newton).
Tout ceci à prendre un peu avec des pincettes parce que c'est écrit sans le café matinal, mais j'espère que t'as l'impression d'avoir mieux compris qu'avant