Energie potentielle

[PNDN5T]

Bonsoir,

Voici une partie d'un dm sur lequel je bloque:

Un tube vertical de diamètre D est plongé dans une cuve contenant un liquide de masse volumique p. Le tout est tout d'abord soumis à un champ de pesanteur uniforme g = 9.8 SI. Le niveau du liquide dans le tube est repéré par la cote z, z = 0 correspondant au niveau de la surface libre du liquide (qu'on considère fixe).

On néglige tout d'abord les effets de tension superficielle (tube de gros diamètre). On montre alors que l'énergie potentielle du liquide dans le tube peut s'écrire :

Ep=1/2pg*pi*D^2/4*z^2

1/Parmi les propositions suivantes, laquelle est vraie ?

A/Il n'existe aucune position d'équilibre.
B/ z=D correspond à une position d'équilibre stable.
C/ z = D correspond à une position d'équilibre instable.
D/ z = 0 correspond à une position d'équilibre instable.
E/ z = 0 correspond à une position d'équilibre stable.

On prend maintenant en compte les effets de tension superficielle (tube de faible diamètre, également appelé capillaire), caractérisés par les quantités gamma(GS) (tension superficielle gaz (air) / solide(verre)) et gamma(LS) (tension superficielle liquide (eau) / solide (verre)). On admet que l'énergie potentielle du liquide dans le tube s'écrit alors:

Ep=Ep= 1/2pg*pi*D^2/4*z^2+(gamma(LS)-gamma(GS))pi*D*z

NB : le deuxième terme correspond à l'énergie potentielle dont dérive la force de tension superficielle s'appliquant au fluide.

2/Quelle est la dimension physique des quantités gamma (plusieurs propositions peuvent être vraies)?

Sans dimension.
Energie.
M.L.T^{-2}
Force par unité de surface.
M.T^{-2}
Force par unité de longueur.
Energie par unité de surface.

3/Parmi les propositions suivantes, laquelle est vraie ?

z=D correspond à une position d'équilibre instable.
z=-4(gamma(LS)-gamma(GS))/pgD correspond à une position d'équilibre instable.
Il n'existe aucune position d'équilibre.
z=-4(gamma(LS)-gamma(GS))/pgD correspond à une position d'équilibre stable.
z=4(gamma(LS)-gamma(GS))/pgD correspond à une position d'équilibre stable.
z=4(gamma(LS)-gamma(GS))/pgD correspond à une position d'équilibre instable.
z=D correspond à une position d'équilibre stable.

4/On dit que le liquide est mouillant si gamma(GS)> gamma(LS). Dans cette hypothèse, où se situe le niveau du liquide à l'équilibre ?

Plus bas que le niveau de la cuve (descente capillaire).
Plus haut que le niveau de la cuve (ascension capillaire).
Au même niveau qu'en l'absence de capillarité.


5/ On suppose maintenant que l'expérience est répétée en l'absence de gravité, si bien que g=0. On suppose toujours que gamma(GS)-gamma(LS).

Parmi les propositions suivantes, lesquelles sont vraies ?

z=0 correspond à une position d'équilibre stable.
Il existe une position d'équilibre instable.
Il est énergétiquement plus coûteux de créer de l'interface gaz / solide que solide / liquide, si bien que la première se rétracte spontanément au profit de la seconde.
Il n'existe aucune position d'équilibre stable.
Le liquide quitte complètement le tube.
Le liquide envahit tout le tube.

6/On donne gamma(GS)-gamma(LS)=73x10^{-3} SI et D=0,1mm. On suppose que le niveau de liquide dans le tube monte de Delta z=1m.

Calculer le travail de la force de tension superficielle lors de cette transformation ?

Merci d'avance!

[Black Jack]

1)

Ep = 1/2 * p * g * pi * D^2/4 *z^2

dEp/dz = p * g * pi * D^2/4 * z

dEp/dz < 0 pour z < 0
dEp/dz = 0 pour z = 0
dEp/dz > 0 pour z > 0

Il y a donc un minimum de Ep(z) pour z = 0

Et donc, z = 0 correspond à une position d'équilibre stable.
*************
2)

[gamma * D * z] = [Ep]

[gamma] * L² = ML²T^-2

[Gamma] = MT^-2
*************
3)

Ep= 1/2pg*pi*D^2/4*z^2+(gamma(LS)-gamma(GS))pi*D*z

dEp/dz = p * g * pi * D^2/4 * z + (gamma(LS)-gamma(GS))pi*D

Eqilibre si dEp/dz = 0 -->

p * g * pi * D^2/4 * z = -(gamma(LS)-gamma(GS))pi*D
p * g * D/4 * z = -(gamma(LS)-gamma(GS))
z = -(gamma(LS)-gamma(GS))/(p * g * D/4)
z = -4.(gamma(LS)-gamma(GS))/(p * g * D)

dEp/dz < 0 pour z < -4.(gamma(LS)-gamma(GS))/(p * g * D)
dEp/dz = 0 pour z = -4.(gamma(LS)-gamma(GS))/(p * g * D)
dEp/dz > 0 pour z > -4.(gamma(LS)-gamma(GS))/(p * g * D)

Il y a donc un minimum de Ep(z) pour z = -4.(gamma(LS)-gamma(GS))/(p * g * D)

Et donc, z = -4.(gamma(LS)-gamma(GS))/(p * g * D) correspond à une position d'équilibre stable.
************
4)

si gamma(GS) > gamma(LS), alors (gamma(LS) - gamma(GS)) < 0 et :

-4.(gamma(LS)-gamma(GS))/(p * g * D) > 0

le niveau du liquide à l'équilibre est plus haut que le niveau de la cuve.
***********

A vérifier plutôt 2 fois qu'une.

[PNDN5T]

Merci beaucoup !
Pour la question sur la dimension de gamma ça correspond aussi à une énergie par unité de surface non ?

[Black Jack]

Merci beaucoup !
Pour la question sur la dimension de gamma ça correspond aussi à une énergie par unité de surface non ?

Oui, c'est facile à vérifier.

[Energie] = [Force] * [distance]

[Energie] = [masse] *[accélération] * [distance]

[Energie] = M * (L.T^-2) * L = ML²T^-2

[Energie]/[Surface] = ML²T^-2/L²

[Energie]/[Surface] = MT^-2

et comme on a montré que [gamma] = MT^-2

La dimension de gamma est bien la même que celle d'une énergie par unité de surface.