Ecoulement instationnaire dans une conduite

[jonses]

Bonjour,

J'essaye d'étudier le comportement instationnaire d'un écoulement d'air chaud traversant une conduite à section circulaire (aire ).
La conduite est entourée par l'air ambiant (, ).
L'air chaud échange de la chaleur à travers la paroi de la conduite et subit des pertes de pression tout le long de la conduite.

A l'instant initial, l'air chaud est au repos à pression et température dans un réservoir fermé en amont de la conduite. Dans la conduite, l'air est initialement au repos et à la pression et à la température ambiantes. Enfin, au bout de la conduite, il y a une tuyère avec une section au col qui donne sur l'atmosphère ambiante.

Je connais l'équation de perte de charge le long de la conduite (livre Idelcik) :

Je considère aussi que l'air est un gaz idéal (gaz parfait et constants).

J'aimerais étudier, dans l'hypothèse d'écoulement 1D, la phase transitoire (instationnaire) au moment où l'on ouvre le réservoir d'air préssurisé chaud. Plus précisément, j'aimerais connaître les équations prenant en compte les pertes thermiques et les pertes de pression et qui régissent l'écoulement dans la phase transitoire.



J'essaye d'implanter un programme en Python qui va résoudre par différence finie en 1D ce problème, mais ma plus grande diffculté est le modèle et les équations.

Autant en stationnaire je sais faire, autant en instationnaire je bloque et j'ai du mal à trouver des équations d'une même source, si bien que mon programme donne des résultats aberrants ou crashe. Par conséquent, le modèle que j'implémente est remis en question. Et j'ai du mal à trouver un modèle qui correspond à mon problème. Le but n'étant pas de résoudre les équations de Naviers-Stokes directement, mais de trouver un modèle plus simple en instationnaire 1D moyennant des hypothèses.

Pour donner quelques détails/pistes sans être lourd, j'utilise le 1er principe de la thermodynamique en système ouvert pour prendre en compte les pertes thermiques (cf https://fr.wikipedia.org/wiki/Premier_principe_de_la_thermodynamique):



Mais je pense que j'applique mal cette formule à une position locale :
Comment cela se développe-t-il localement en position ?

De même, je pense que je développe mal l'équation de perte de charge à une position locale :
Est-ce que cela s'écrit ainsi ?


Une autre grande difficulté est la détermination du débit massique à chaque pas de temps. En stationnaire, il n'y a pas de problème, le débit va être régulé par la condition d'amorçage au col de tuyère, mais pour le cas instationnaire, qu'en est-il ? Comment calculer le débit massique dans le tuyau pendant le temps où l'onde de pression initiale n'est pas encore arrivée au col ?
J'ai supposé qu'au début le débit est régulé par le phénomène de Vena Contracta qui se produit au niveau de l'entrée de la conduite et qui agirait comme une petite tuyère virtuelle dans la conduite à l'entrée. Mais est-ce raisonnable et juste de penser ainsi ?

Je sais que cela fait beaucoup d'interrogations, mais pour résumer en quelques mots : quels sont les équations qui régissent l'écoulement instationnaire en 1D dans la conduite prenant en compte les pertes thermiques et les pertes de pression ?

Je vous remercie d'avance pour votre aide

P.S. : Je n'ai pas développé dans le post toutes les équations que j'ai utilisé dans mon programme pour éviter d'alourdir le post, mais si vous considérez que c'est utile je peux éditer mon post pour les rajouter.