Distance moyenne

[jeje56]

Bonjour,
Je voudrais illustrer un problème mathématiques de détermination d'une moyenne par un contexte physique. L'objectif de mon post est de savoir si mon énoncé tient la route du point de vue de la physique et d'être le plus précis possible.
On rappelle la loi de gravitation universelle.
On considère deux satellites de la Terre de mêmes masses respectivement en orbite à 10 000 et 20 000 Kms.
L'objectif est de déterminer l'altitude de ces satellites dans le cas où les deux seraient soumis à des forces gravitationnelles exercées par la Terre identiques et dont la somme serait égale à la somme des forces gravitationnelles réellement exercées par la Terre.
Mathématiquement, l'altitude cherchée est la moyenne généralisée d'ordre -2 des altitudes 10 000 et 20 000 (due à la loi en carrés inverses suivie par la force gravitationnelle).
Mon énoncé vous semble-t-il tiré par les cheveux ?
Je reste à l'écoute d'autres idées issues de la physique et illustrant ce type de moyenne...
Merci beaucoup de votre aide !

[Black Jack]

C'est quoi 10000 km et 20000 km ? (En passant, la notation Kms est interdite)

Des altitudes ou bien des distances entre les centres d'inertie de la Terre et des satellites ?

[jeje56]

C'est quoi 10000 km et 20000 km ? (En passant, la notation Kms est interdite)

Des altitudes ou bien des distances entre les centres d'inertie de la Terre et des satellites ?

Il s'agit des distances entre centres d'inerties.
Merci pour la notation.

[jeje56]

C'est quoi 10000 km et 20000 km ? (En passant, la notation Kms est interdite)

Des altitudes ou bien des distances entre les centres d'inertie de la Terre et des satellites ?

Disons les distances entre centres d'inerties.
Merci pour la notation.
Edit : dsl pour le double post...

[Black Jack]

Bonjour,

F1 = GmM/d1²
F2 = GmM/d2²

F = F1 + F2 = GmM * (1/d1² + 1/d2²)

Si F est appliquée à l'ensemble de 2 satellites de masse m (donc masse 2m), on a :

GmM * (1/d1² + 1/d2²) = G.2mM/d²
(1/d1² + 1/d2²) = 2/d²
(d1² + d2²)/(d1².d2²) = 2/d²

d² = 2.d1².d2²/(d1² + d2²)

[jeje56]

Merci Black Jack. Ma question ne concernait pas la résolution, c'est moi qui aie créé la situation...
Je demandais l'avis de spécialistes de la physique quant à la cohérence et la pertinence d'un tel exercice mais également d'autres idées dans ce contexte d'interactions gravitationnelles faisant intervenir la même moyenne...

Edit 1 : Par exemple, pour que la situation soit cohérente, a-t-on besoin de préciser que les satellites sont lancés à la même vitesse ?...

Edit 2 : Peut-on imaginer une autre situation, entre deux satellites cette fois, avec recherche d'une sorte de position moyenne ?... Position "d'équilibre" peut-être ? Les physiciens, aidez-moi !

[hdci]

Bonjour,
Un point qui me chagrine : est-ce que la situation a un sens ? Si les satellites sont sur des orbites différentes, ils n'iront ni à la même vitesse ni à la même vitesse angulaire.

[jeje56]

Bonjour,
Un point qui me chagrine : est-ce que la situation a un sens ? Si les satellites sont sur des orbites différentes, ils n'iront ni à la même vitesse ni à la même vitesse angulaire.

Merci hdci,
Je me pose cette question de la vitesse : elle dépend donc de la distance ? Plus le satellite est proche plus sa vitesse est grande pour compenser l'attraction exercée par la Terre ?
Pour le sens, ma question est justement de savoir si considérer la vitesse est ici nécessaire ? Autrement dit, mon énoncé est-il plausible sans considérer la vitesse ?

[hdci]

Pour la première partie, la réponse est oui. L'orbite "géostationnaire", située à environ 36000km d'altitude, est telle que le satellite tourne autour de la Terre en 24 heure (donc sur le plan équatorial est toujours "au-dessus du même point de la Terre", c'est à cet endroit que sont envoyés les satellites GPS).
Ce qui fait une vitesse angulaire de 0.26 radian par heure (15° par heure), ou une vitesse de 11 000 km/h environ.

La Lune, à 400 000 km de la Terre, a une période de révolution d'un mois, ce qui fait (j'ai pris 30 jours pour simplifier) une vitesse angulaire de 0.009 radian par heure (0.5° par heure), ou une vitesse de 3500 km/h environ.

Pour la seconde partie de la question, je ne sais pas répondre.

[Black Jack]

"Pour le sens, ma question est justement de savoir si considérer la vitesse est ici nécessaire ? Autrement dit, mon énoncé est-il plausible sans considérer la vitesse ?"

Question qui n'a guère de sens.

Pour un astre Parent donné (ici la Terre), la vitesse d'un satellite en orbite circulaire est liée au rayon de l'orbite.



avec v la vitesse instantanée du satellite dans un référentiel géocentrique, G la constante de gravitation et M la masse de la Terre.

... donc donner la distance R, impose la valeur de v (et vice-versa).

Remarque :
Si les orbites ne sont pas circulaires (et pas d'obligation qu'elles le soient ... si ce n'est pas spécifié), c'est bancal

On remarquera évidemment aussi que les 2 satellites de la question étant initialement à des distances différentes de la Terre n'ont EVIDEMMENT pas les même vitesses.

[jeje56]

Eh bien voilà une autre loi en carrés inverses intéressante !

Plusieurs questions, je rappelle que je ne suis pas physicien :
- Cette loi est-elle valable aussi bien pour un satellite naturel que pour un satellite artificiel ?
- De quelle façon intervient l'humain sur le placement en orbite : choix de v ou choix de R ? Le satellite prend-il "sa place" seul en fonction de sa vitesse par exemple ?
- Quel est le lien avec le principe d'inertie ?
- Pour revenir à ma moyenne, est-ce qu'un exercice du style "Déterminer la vitesse d'un satellite dont le rayon de l'orbite est le milieu des rayons d'orbites de deux autres satellites" est-il plausible ?

Merci de votre aide !

[hdci]

Pour répondre aux premières questions :
Tout d'abord, le lien entre rayon et vitesse ne concerne que les orbites circulaires ; le vecteur vitesse est orthogonal au rayon de la trajectoire, et cette formule qui ne dépend pas de la masse est alors valable pour n'importe quel corps.

Cela signifie en particulier : si l'objet va à une vitesse supérieure à ce que donne la formule, il va s'éloigner de l'astre (et selon les cas, il aura une trajectoire elliptique, comme tout astre "captif", ou une trajectoire parabolique voire hyperbolique; comme c'est le cas de certaines comètes "qui ne reviennent jamais").
Si l'objet va à une vitesse inférieure, même constat : il va se rapprocher de l'astre (donc, acquérir une vitesse de plus en plus élevée) et selon les cas, s'écraser sur l'astre ou reprendre une trajectoire elliptique, parabolique etc.

Lorsque nous mettons un satellite en orbite, en général on fixe une orbite (cf. les satellites géostationnaires, le GPS ne fonctionne plus si l'orbite n'est pas correcte), ce qui donne la vitesse (et le vecteur vitesse) que le satellite doit avoir à l'altitude donnée.

La dernière question n'a plus de sens : dès lors qu'on connaît l'altitude (donc par ajout du rayon de la Terre, la distance au centre) on connaît la vitesse si l'orbite est circulaire.

Ces questions, est-ce en rapport avec le grand oral du bac ?

[Black Jack]

Bonjour,

Attention ...
Comme je l'ai déjà dit, la relation R = GM/v² n'est valable que pour des orbites circulaires. (peu importe que le satellite soit naturel ou artificiel)

Dans le cas plus général d'orbites elliptiques, on utilise la 3ème Loi de Kepler qui est :


Avec T la période de révolution du satellite, "a" la demi mesure du grand axe de l'ellipse orbite, M la masse de l'astre Parent et m la masse du satellite.


et comme on a en pratique M > > > m, cette loi devient :



Et dans le cas où l'ellipse se réduit à un cercle, on a :
a = R
et T = 2Pi*R/v

ce qui donne alors :



... on retrouve évidemment l'expression du message du 13 Avr 2021 07:59

qui n'est donc valable que pour les orbites circulaires et avec l'approximation (souvent vraie) que si M > > > m

[jeje56]

Selon la relation v=2piR/T, v désigne la vitesse moyenne et non instantanée comme indiquéeplus haut...

[hdci]

Selon la relation v=2piR/T, v désigne la vitesse moyenne et non instantanée comme indiquéeplus haut...

En fait non : comme indiqué par Black Jack, on est dans le cas d'une orbite circulaire. Et dans ce cas, la vitesse (en norme) est constante. Donc oui c'est la vitesse moyenne, mais oui aussi c'est la vitesse instantanée.

[Black Jack]

Eh bien voilà une autre loi en carrés inverses intéressante !

Plusieurs questions, je rappelle que je ne suis pas physicien :
- Cette loi est-elle valable aussi bien pour un satellite naturel que pour un satellite artificiel ?
- De quelle façon intervient l'humain sur le placement en orbite : choix de v ou choix de R ? Le satellite prend-il "sa place" seul en fonction de sa vitesse par exemple ?
- Quel est le lien avec le principe d'inertie ?
- Pour revenir à ma moyenne, est-ce qu'un exercice du style "Déterminer la vitesse d'un satellite dont le rayon de l'orbite est le milieu des rayons d'orbites de deux autres satellites" est-il plausible ?

Merci de votre aide !

"- De quelle façon intervient l'humain sur le placement en orbite : choix de v ou choix de R ? Le satellite prend-il "sa place" seul en fonction de sa vitesse par exemple ?"

Pour un objet qui, à un instant donné, est à une distance d de la Terre et animé d'une vitesse V (en norme) ... il y a une infinité d'orbites possibles dépendant de la direction du vecteur vitesse (dans un référentiel géocentrique).
Pour que l'orbite soit circulaire, il faut 2 conditions :
a) que (avec évidemment M > > > m)
b) que le vecteur vitesse soit orthogonal à la droite joignant le centre de la Terre et l'objet.

Si ces conditions ne sont pas remplies toutes les 2, l'orbite ne sera pas circulaire ... elle sera soit elliptique, soit suivant un arc de parabole, soit un arc d'hyperbole.

Dans toutes trajectoires non circulaires, la vitesse instantanée varie en permanence (en direction évidemment, mais aussi en norme).

[jeje56]

Merci Black Jack pour ces infos.