La constante au mouvement du pendule...

[Elerinna]

Un pendule simple est constitué par une masse ponctuelle accrochée à un fil de longueur , fixé à un support par son extrémité supérieure. Ce fil passe dans un petit anneau (situé entre la masse et le support), et que l'on fait descendre très lentement selon la verticale. Les oscillations sont supposées de faible amplitude. Soit E l'énergie mécanique du pendule et sa fréquence. Montrer que reste constant quand on déplace l'anneau (l'exo à propos de l'existence d'invariant a été posé à l'oral de ENS).

[Black Jack]

Quelque chose m'échappe ou bien est-ce un attrape-nigaud ?

L'énergie mécanique du pendule est E = mgLo.(1-cos(thetao)) avec Lo la longueur du fil anneau tout en haut, et thetao l'angle du fil par rapport à la verticale d'où on lache le pendule sans vitesse initiale au début de l'exercice.
Cette énergie (hors frottement) n'a aucune raison de changer au cours de la descente de l'anneau.

On a aussi T = 2Pi.racine(L/g) avec L la longeur du fil qui peut osciller, donc celle entre l'anneau et le centre d'inertie de la masse.
L varie donc avec la position de l'anneau ---> T varie en fonction de la position de l'anneau et par là, = 1/T la fréquence des oscillations varie aussi en fonction de la position de l'anneau.

Et donc E/ n'est pas constant quand on déplace l'anneau.

J'ai du louper quelque chose ???

:zen:

[Elerinna]

Sans doute par mégarde as-tu occulté que : dans la répartition de l'énergie !

[Dlzlogic]

Sans doute par mégarde as-tu occulté que : dans la répartition de l'énergie !

Nous, on s'intéresse aussi, alors on aimerait bien savoir qui sont Ep et Ec.

[Black Jack]

Sans doute par mégarde as-tu occulté que : dans la répartition de l'énergie !

Je n'ai rien occulté par mégarde.

On prend une reférence d'altitude arbitraire pour l'énergie potentielle de pesanteur nulle.

Et par facilité, on prend l'altitude du point le plus bas où la masse passe. (soit donc l'altitude de la masse quand le fil est vertical).

Au lacher de la masse, la vitesse de la masse est nulle et donc Ec0 = (1/2).m.v² = 0
et Ep = mgL.(1-cos(alpha0)) avec alpha0 l'angle du fil avec la verticale au moment du lacher.

L'énergie mécanique de la masse est alors Em = Ec0 + Ep0 = 0 + mgL.(1-cos(alpha0))

Em = mgL.(1-cos(alpha0))

Comme on considère les frottements comme negligeables, l'énergie mécanique de la masse restera la même quelle que soit la position future de l'anneau (qui permet évidemment l'oscillation).

L'effet qu'il y a de redecendre l'anneau est le suivant :

La masse atteint toujours l'altitude qu'elle avait au départ aux moments où la masse change de sens et est alors à vitesse nulle.

Comme la longueur L' du fil qui oscille est plus courte (imposée par la position de l'anneau) , cela signifie que l'angle max que fait le fil avec la verticale varie de telle manière que :

mgL.(1-cos(alpha0)) = mgL'.(1-cos(alphamax))

L.(1-cos(alpha0)) = L'.(1-cos(alphamax))

(1-cos(alphamax)) = (L/L').(1-cos(alpha0))

cos(alphamax) = 1 - (L/L').(1-cos(alpha0))

Donc l'angle total parcouru pendant une oscillation varie avec la position de l'anneau ... Mais cela ne change en rien l'énergie mécanique de la masse oscillante.

Par contre, la periode d'oscillation varie puisque avec la longueur l du fil oscillant (T = 2Pi.racine(l/g))

Et donc la fréquence d'oscillation varie avec la position de l'anneau.

Em est constante quelle que soit la position de l'anneau en cours d'exercice et la fréquence f d'oscillation varie et donc Em/f varie avec la position de l'anneau.
*************
Je continue à tiquer fortement sur cet énoncé.

:zen:

[Dlzlogic]

Ca me rappelle une autre expérience.
Soit une petite plate-forme pouvant tourner sans frottement sur son axe vertical.
Un individu ayant dans ses mains 2 petits altères monte sur la plateforme et lance le mouvement rotatif. S'il écarte les bras, le mouvement se ralenti, s'il baisse les bras, il s'accélère. On observe le phénomène identique avec les patineurs. C'est une démonstration très visuelle de la conservation de l'énergie.

[Black Jack]

Ca me rappelle une autre expérience.
Soit une petite plate-forme pouvant tourner sans frottement sur son axe vertical.
Un individu ayant dans ses mains 2 petits altères monte sur la plateforme et lance le mouvement rotatif. S'il écarte les bras, le mouvement se ralenti, s'il baisse les bras, il s'accélère. On observe le phénomène identique avec les patineurs. C'est une démonstration très visuelle de la conservation de l'énergie.

C'est tout à fait cela.
Pour moi, on est dans un problème analogue avec l'exercice posé... qui me semble bien bancal.

Dans ton exemple, l'énergie mécanique du patineur se conserve lorsque sa vitesse varie en fonction de la position des bras.
Et dans l'exercice proposé, l'énergie mécanique de la masse oscillante se conserve lorsque la fréquence des oscillations varie en fonction de la position de l'anneau... Et ce n'est pas du tout ce que l'énoncé sous-entend par la démonstration demandée.

:zen:

[Mathusalem]

Ca me rappelle une autre expérience.
Soit une petite plate-forme pouvant tourner sans frottement sur son axe vertical.
Un individu ayant dans ses mains 2 petits altères monte sur la plateforme et lance le mouvement rotatif. S'il écarte les bras, le mouvement se ralenti, s'il baisse les bras, il s'accélère. On observe le phénomène identique avec les patineurs. C'est une démonstration très visuelle de la conservation de l'énergie.

Sauf que dans ce cas l'énergie mécanique du patineur n'est pas conservée puisqu'il travaille pour écarter ses bras ou pour les ramener (dans son repère, travaille contre la centrifuge)

Le moment cinétique est conservé car aucun moment de force n'est présent :

I_1 w_1 = I_2 w_2
n'implique pas
1/2 I_1 w_1^2 = 1/2 I_2 w_2^2

Autrement je suis d'accord avec Black Jack, l'énoncé il sent mauvais là.

[Skullkid]

J'avais eu un énoncé similaire en khôlle en sup (sauf que ça ressemblait plus à une discussion avec le khôlleur qu'à un exercice et que la seule question était "qu'en pensez-vous ?") et il me semble que le khôlleur avait évoqué le fait que l'anneau, en bougeant, travaillait et donc l'énergie du pendule n'était pas conservée. Après je ne sais pas si en descendant l'anneau lentement on applique un travail négligeable ou pas, je vais essayer de poser les équations...

[Black Jack]

J'avais eu un énoncé similaire en khôlle en sup (sauf que ça ressemblait plus à une discussion avec le khôlleur qu'à un exercice et que la seule question était "qu'en pensez-vous ?") et il me semble que le khôlleur avait évoqué le fait que l'anneau, en bougeant, travaillait et donc l'énergie du pendule n'était pas conservée. Après je ne sais pas si en descendant l'anneau lentement on applique un travail négligeable ou pas, je vais essayer de poser les équations...

Il faut bien entendu faire descendre l'anneau lorsque le fil du pendule passe par la verticale (même si c'est pratiquement impossible si l'anneau à un diamètre intérieur égal à celui du fil), sinon on peut faire à peu près n'importe quoi.

Mais si on descend l'anneau sans à coup, à vitesse constante et très lentement (par exemple sur plusieurs périodes du pendules) alors il faut effectivement repenser au problème.

:zen:

[Mathusalem]

Il faut bien entendu faire descendre l'anneau lorsque le fil du pendule passe par la verticale (même si c'est pratiquement impossible si l'anneau à un diamètre intérieur égal à celui du fil), sinon on peut faire à peu près n'importe quoi.

Mais si on descend l'anneau sans à coup, à vitesse constante et très lentement (par exemple sur plusieurs périodes du pendules) alors il faut effectivement repenser au problème.

:zen:

Même dans cette optique sans suppositions supplémentaires, je vois mal comment calculer le travail dissipé par l'anneau. Il faudrait trouver que l'énergie du pendule possède une dépendence en pour satisfaire l'énoncé. Et ça, à priori, ça me paraît difficile à réaliser et de plus, absurde.

[Black Jack]

Même dans cette optique sans suppositions supplémentaires, je vois mal comment calculer le travail dissipé par l'anneau. Il faudrait trouver que l'énergie du pendule possède une dépendence en pour satisfaire l'énoncé. Et ça, à priori, ça me paraît difficile à réaliser et de plus, absurde.

Je n'y crois guère non plus, mais si j'ai le temps j'y repenserai... avec un a priori négatif.

Remarque qu'on ne cherche pas le travail dissippé par l'anneau mais plutôt l'énergie apportée au système par la force externe agissant sur l'anneau pour le descendre pendant les oscillations.

:zen:

[Dlzlogic]

Je n'y crois guère non plus, mais si j'ai le temps j'y repenserai... avec un a priori négatif.

Remarque qu'on ne cherche pas le travail dissippé par l'anneau mais plutôt l'énergie apportée au système par la force externe agissant sur l'anneau pour le descendre pendant les oscillations.

:zen:

Questions idiotes, l'anneau va "prendre" de l'énergie au pendule ou "en donner".
Dans le même ordre d'idée, le patineur "prend" de l'énergie en écartant les bras et la "rend" en les baissant, ou le contraire ? Comment se transmet-elle ? Est-elle perdue ou récupérable ?
Si elle est récupérée, en élevant puis en baissant les bras, le patineur pourrait tourner indéfiniment ?
Si 2 patineurs ont une vitesse initiale identique, l'un s'amusant à ralentir puis accélérer en écartant puis en baissant les bras, l'autre ne bougeant pas, lequel va s'arrêter le plus vite, en négligeant la résistance de l'air, mais pas celle de la glace ?

[Black Jack]

Questions idiotes, l'anneau va "prendre" de l'énergie au pendule ou "en donner".
Dans le même ordre d'idée, le patineur "prend" de l'énergie en écartant les bras et la "rend" en les baissant, ou le contraire ? Comment se transmet-elle ? Est-elle perdue ou récupérable ?
Si elle est récupérée, en élevant puis en baissant les bras, le patineur pourrait tourner indéfiniment ?Si 2 patineurs ont une vitesse initiale identique, l'un s'amusant à ralentir puis accélérer en écartant puis en baissant les bras, l'autre ne bougeant pas, lequel va s'arrêter le plus vite, en négligeant la résistance de l'air, mais pas celle de la glace ?

Oui ... dans l'hypothèse de pertes par frottement nul.
En pratique, évidemment, les pertes par frottement ne sont pas nulles et le patineur finira par s'arreter.

:zen:

[Dlzlogic]

Oui ... dans l'hypothèse de pertes par frottement nul.
En pratique, évidemment, les pertes par frottement ne sont pas nulles et le patineur finira par s'arreter.

:zen:

Je faisais allusion à ceci :

Sauf que dans ce cas l'énergie mécanique du patineur n'est pas conservée puisqu'il travaille pour écarter ses bras ou pour les ramener (dans son repère, travaille contre la centrifuge)

S'il y a un travail, il y a transformation d'énergie. L'énergie produite par le patineur, si elle est transformée en énergie mécanique, elle est transmise au mouvement de rotation donc le mouvement des bras de haut en bas peut augmenter le temps de rotation par rapport au patineur qui ne bouge pas, ou au contraire le diminuer.
En fait il n'en est rien il n'y a pas de communication d'énergie dans ce cas là, juste une modification de la forme de l'objet en rotation.
J'avais bien mis "Questions idiotes" en préfixe.
Le régulateur de vitesse constitué de 2 masselottes est une autre application de cela.
Concernant le pendule, s'il oscille assez longtemps, on pourra constater qu'il garde une direction constante.

[Black Jack]

Je faisais allusion à ceci :
S'il y a un travail, il y a transformation d'énergie. L'énergie produite par le patineur, si elle est transformée en énergie mécanique, elle est transmise au mouvement de rotation donc le mouvement des bras de haut en bas peut augmenter le temps de rotation par rapport au patineur qui ne bouge pas, ou au contraire le diminuer.
En fait il n'en est rien il n'y a pas de communication d'énergie dans ce cas là, juste une modification de la forme de l'objet en rotation.
J'avais bien mis "Questions idiotes" en préfixe.
Le régulateur de vitesse constitué de 2 masselottes est une autre application de cela.
Concernant le pendule, s'il oscille assez longtemps, on pourra constater qu'il garde une direction constante.

Si on conserve le moment cinétique, on a J1.w1 = J2.w2 (avec J1 différent de J2 et les w non nuls)
Et il n'est pas possible en même temps d'avoir (1/2).J1.w1² = (1/2).J2.w2²

Donc "une modification de la forme de l'objet en rotation" signifiant J1 différent de J2, implique si le moment cinétique est conservé que l'énergie cinétique de rotation est modifiée.
Il y a bien un travail qui entre en jeu pour que ce soit possible... Le travail musculaire qui peut aussi bien être générateur que récepteur. Comme l'a dit Mathusalem.

Pour un régulateur à masselottes, il est évidemment relié au "machin à réguler" qui peut apporter ou consommer de l'énergie.

Quand au pendule qui garde une direction constante (dans rérérentiel galiléen), personne n'a jamais dit le contraire ... mais je ne vois pas bien le lien avec ce topic. (pendule de Foucault).

Non ?

:zen:

[Dlzlogic]

OK D'accord.

[Dlzlogic]

Bonjour,
Je me permet de revenir sur le sujet parce qu'il m'intéresse. Je suis géomètre mais pas physicien, ce qui ne m'empêche pas d'essayer de comprendre.
Imaginons une petite plate-forme tournant sur son axe vertical. On pratique 2 fois l'expérience suivante.
On dispose sur la plateforme un objet et on lance la rotation de la plateforme. La seule différence entre les expériences est la forme de l'objet. Dans la première, l'objet aura la forme d'un individu vertical, les bras le long du corps, dans la seconde, la forme de l'objet sera le même individu vertical, mais ses bras seront à l'horizontale. Toutes choses égales par ailleurs.
Donc ma question, comment comparer ces deux expériences : vitesse de rotation différente, oui ou non ? Autre différences ?
Je rappelle que l'énergie développée pour lancer la rotation est la même dans les deux cas, et que l'objet est considéré comme indéformable.

[Black Jack]

Bonjour,
Je me permet de revenir sur le sujet parce qu'il m'intéresse. Je suis géomètre mais pas physicien, ce qui ne m'empêche pas d'essayer de comprendre.
Imaginons une petite plate-forme tournant sur son axe vertical. On pratique 2 fois l'expérience suivante.
On dispose sur la plateforme un objet et on lance la rotation de la plateforme. La seule différence entre les expériences est la forme de l'objet. Dans la première, l'objet aura la forme d'un individu vertical, les bras le long du corps, dans la seconde, la forme de l'objet sera le même individu vertical, mais ses bras seront à l'horizontale. Toutes choses égales par ailleurs.
Donc ma question, comment comparer ces deux expériences : vitesse de rotation différente, oui ou non ? Autre différences ?
Je rappelle que l'énergie développée pour lancer la rotation est la même dans les deux cas, et que l'objet est considéré comme indéformable.

Reste encore à voir comment est mis le bonhomme avec les bras écarté.

Prenons un exemple simplifié très fort, juste pour faire comprendre :

Le corps sans ses bras (de masse m1 sans les bras) est supposé concentré à une distance "a" du centre de rotation, et on "approxime" la masse m2 d'un ses bras comme concentrée à une distance (a - b) (avec b Er2

Donc, dans le cas des positions de l'exercice ci-dessus, il faut plus d'énergie pour lancer, à la même vitesse de rotation, le bonhomme avec les bras écartés.

Dis autrement, dans le cas de l'exercice ci-dessus, si on lance les 2 mouvement avec une même énergie ... et bien la vitesse de rotation avec le bonhomme bras écarté sera plus petite.
*****
L'exemple ci-dessus est bien entendu simplifié, c'est plus compliqué en réalité de calculer les moments d'inertie que ce que j'ai fait ici au dessus, mais soit ... Cela ne change rien de fondamental.

Remarque, qu'il est possible en tendant les bras d'avoir un autre effet, par exemple si le bonhomme tend les 2 bras vers la direction du centre de rotation ..., il irait plus vite que les garder au corps.

Attention aussi que cet exemple, n'est pas le cas décrit dans des réponses précédentes sur le patineur ...

Et cela n'est pas non plus une réponse à la question initiale posée dans ce topic.

:zen:

[Skullkid]

Pour l'exercice initial, j'en suis arrivé à mais en continuant ça a pas l'air de donner ce qu'on veut. En plus, l'énergie mécanique étant définie à une constante près, contrairement à la fréquence, il faudrait choisir la "bonne" énergie pour espérer avoir constant. Bref, je pense que l'énoncé mérite des précisions...

Sinon, pour continuer la digression sur le patineur qui frotte sur la glace : le taux d'énergie dissipée par frottement sur la glace est proportionnel à la vitesse de rotation, donc plus le patineur tourne vite, plus vite il perd son énergie par frottements. Mais d'un autre côté, il modifie aussi son énergie en bougeant les bras donc il faut aussi prendre ça en compte pour savoir lequel des deux patineurs - celui qui change sciemment de vitesse de rotation et celui qui se contente de tourner - s'arrête le plus vite.

Pour résumer le post de Black Jack : si deux corps identiques tournent à la même vitesse de rotation autour du même centre de rotation mais ne sont pas à la même distance de ce centre, la vitesse du corps le plus éloigné est plus élevée que celle du corps le plus proche, donc son énergie cinétique est plus grande. Ainsi, toutes choses par ailleurs égales, il faut dépenser d'autant plus d'énergie pour faire tourner un corps qu'il est éloigné du centre de rotation. C'est l'idée derrière le moment d'inertie qui quantifie la résistance d'un corps à sa mise en rotation (de la même façon que la masse caractérise la résistance d'un corps à sa mise en translation)