[MPSI] comprends rien à cet exo d'optique

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pouik
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[MPSI] comprends rien à cet exo d'optique

par pouik » 25 Nov 2006, 20:25

Bonsoir,
Je ne comprends absolument rien à cet exercice :cry: :cry: . Donc si vous pourriez m'aider ce serait formidable !!! Merci d'avance.
"En première approximation, la célérité d'une onde sonore se propageant dans l'océan varie avec la profondeur suivant la loi : , une constante positive.
Plaçons une source sonore immergée à la profondeur émettant un faisceau sonore parallèle schématisé par le trajet , l'inclination de l'angle par rapport au plan horizontal. Envisageons de découper le milieu de propagation en une succession de tranches horizontales, chacune d'épaisseur infiniment petite .
Compte-tenu de la symétrie du milieu, le trajet du faisceau sonore demeure dans le plan vertical ; il passe par le point où la célérité vaut sous l'inclination , puis où la célérité vaut , sous l'inclination . On admettra que les ondes accoustiques suivent les mêmes lois que les ondes électromagnétiques dans le domaine du visible.

- Exprimer la pente du faisceau en puis la quantité en fonction de l'angle . En déduire l'équation différentielle vérifiée par la trajectoire de l'onde accoustique (il est rappelé que : ).
-> pour la pente je trouve tan(\alpha) mais je suis pas sur, ensuite je vois pas comment faire !! :mur: :mur: :mur:

- L'angle \alpha est faible et la valeur est beaucoup plus grande que celle de l'expression . En introduisant la variable , montrer que l'équation différentielle précédente peut s'écrire sous la forme :

identifier les constantes et ."



pouik
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par pouik » 25 Nov 2006, 22:39

Peut-on dire que :

flaja
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par flaja » 25 Nov 2006, 23:46

NON !!!!
tan(alpha) = dz/dx <----- OK (évidemment) 1ère équation
Il faut appliquer la loi de la réfraction de Descartes <---- 2ème équation
attention à "alpha" au lieu de "i"

1ère équation : permet de calculer (d alpha)/dx en fonction de dz²/dx²
--------------- d'éliminer tous les alpha
2ème équation : exprime (d alpha)/dx en fonction de dz/dx

remarque :
entre 2 tranches (Delta z) (fixe), l'onde sonore suit 2 segments de droite (en descendant)
tranche 1 : alpha, C(z)
tranche 2 : alpha + (d alpha)/dz*(Delta z), C(z)+ d(C(z))/dz*(Delta z)

pouik
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par pouik » 26 Nov 2006, 09:34

Bonjour, :zen:
Je ne comprends pas où il faut utiliser la loi de Descartes :mur: et comment exprimer en fonction de : à part dire que l'un est le carré de l'autre !!! :marteau:

Moi en fait j'avais fait :
(1)

On intègre (1), ce qui nous donne :

d'où :
d'où :
d'où :
on fait un developpement limité et on trouve :

ie :
ie :
ie :
on fait encore un developpement limité et on trouve :


et ca ressemble vachement à ce qu'il faut trouver à la question suivante mais y quand même un petit quelque chose qui va pas.
Ai-je fait une erreur ???
merci d'avance.

flaja
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par flaja » 26 Nov 2006, 12:21

Non, il faut trouver une équation différentielle du second ordre :
z'' = f(z',z) (dérivées par rapport à x)
Ce n'est pas immédiat, il faut chercher.

On en peut pas résoudre le problème sans tenir compte de c
la première équation tg(alpha) = dz/dx
ne peut pas résoudre la propagation du son à elle tout seule.

Il faut introduire de la physique :
il faut écrire la loi de la réfraction entre 2 couches dz
alpha dans la couche 1 devient (alpha+d alpha) dans la couche 2
ce qui correspond à la courbure ou la dérivée seconde de z(x)
-> ce qui donne une équation différentielle

entre ces 2 équations, on élimine alpha et d alpha/dx

pouik
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par pouik » 26 Nov 2006, 12:34

D'après Descartes on a :


Par contre je vois pas c'est quoi la deuxième equation !!

flaja
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par flaja » 26 Nov 2006, 12:42

D'après Descartes on a :

Par contre je vois pas c'est quoi la deuxième equation !!


C'est ça la deuxième équation qui apporte la physique du problème.
la première étant : tg(alpha) = dz/dx

par contre c'est faux :
1) la loi de Descartes s'applique à l'angle "i" complémentaire de alpha
2) il faut dériver la totalité de l'expression et non pas les deux termes séparéments : voici la solution

pouik
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par pouik » 26 Nov 2006, 12:50

Ne manque-t-il pas des dans cette formule avec les ???

flaja
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par flaja » 26 Nov 2006, 12:51

Je pense que cette formule est correcte et elle donne une belle équa. diff.

pouik
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par pouik » 26 Nov 2006, 12:52

et après je ne vois pas comment faire intervenir !!!!

pouik
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par pouik » 26 Nov 2006, 12:54

Donc l'equadiff est :
????

Pk y a t il 2 dx à droite ???

flaja
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par flaja » 26 Nov 2006, 13:09

en fait, il faut diviser par C : n = c0 / v
C'est le développement à l'ordre 1 de

pouik
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par pouik » 26 Nov 2006, 13:11

desole mais je comprends toujours pas pourquoi il figure deux à droites !!!!

flaja
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par flaja » 26 Nov 2006, 13:21

extrait de : http://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9veloppement_limit%C3%A9
Article principal: Théorème de Taylor
Le mathématicien Taylor a démontré qu'une fonction f, dérivable n fois sur un intervalle I contenant x0, possédait un D.L.n au voisinage de x0 :

ici x est x_1 et x_0 est x, puis
les termes suivant en dx² sont abandonnés.

pouik
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par pouik » 26 Nov 2006, 13:26

oui mais alors si il y a les deux : ils se neutralisent donc il n'y en a plus à droite !!!

flaja
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par flaja » 26 Nov 2006, 13:37

on met dx pour faire apparaître la dérivée d/dx(\cos \alpha/C)
que l'on sait manipuler. Le dx ne servira plus vois le plutôt comme un Delta x
Je te laisse réfléchir un peu.

pouik
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par pouik » 26 Nov 2006, 13:42

en le considérant comme un je suis totalement d'accord.

Mais ensuite comment je fais pour avoir l'equadiff vérifiée par car dans cette equadiff il n'y a pas de , ni de ...

pouik
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par pouik » 26 Nov 2006, 13:52

Faut-il élever des deux côtés au carré ??

flaja
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par flaja » 26 Nov 2006, 14:20

dis-nous ce que tu trouves quand tu développe :
il y a des z dans C
mais il restera
que l'on extrait de l'équation : tg(alpha) = z' (d'où le z'')

pouik
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par pouik » 26 Nov 2006, 14:30


non ???

 

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