Comment dérive on les vecteurs unitaires ?

[Rockleader]

Bonjour, j'aimerais connaître comment l'on fait pour dériver des vecteur unitaires.


Par exemple, un point M repéré dans une base cylindrique de centre O est représenté par l'équation

OM = p(t) e_p + z(t) e_z

On a donc une vitesse qui vaut


v(M) = d(p(t) e_p)/dt) + d(z(t) e_z) / dt = dp(t)/dt e_p + p(t)*d(e_p)/dt + dz(t) e_z + z(t)*d(e_z)

Au final je connais l'expression de cette vitesse elle est dans mon cours; mais j'aimerais savoir comment on peut la retrouver en calculant les dérivé de ep et ez.


Si je me trompe pas la dérivé de ez est nulle et celle de ep vaut d(phi)/dt * e_phi

Comment retrouve on ce résultat ?


Merci d'avance.

[jlb]

salut,

e_r=cos(phi).e_x + sin(phi).e_y où e_x, e_y fixes

tu dérives par rapport au temps: =-phi'.sin(phi).e_x + phi'cos(phi)e_y=phi'.(-sin(phi)e_x+cos(phi)e_y)


et tu remarques que e_phi=rotation(O,+pi/2)(e_r)=cos(phi)e_y-sin(phi)e_x ( l'image par la rotation de centre O et d'angle +pi/2 de e_x est e_y et celle de e_y est -e_x)

voila, bon courage.

[Rockleader]

Ok, mais alors pourquoi dans mon expression de la vitesse

j'ai la composante

p(t)*d(phi(t)) e_phi

Selon e_phi et non e_x


Autrement il est évident qu'en dérivant e_p selon l'expression dans la base e_x et e_y et e_z on trouve ce que tu as dis là.


Ou alors j'ai mal pris mon cours.

[jlb]

relis ce que j'ai écris c'est uniquement l'explication de d/dt(e_r)=phi'e_phi

après tu remplaces et cela doit donner la formule de ton cours

V(M)=d/dt(r).e_r+r.phi'.e_phi+d/dt(z).e_z

bon, je n'ai peut-être pas compris ce que tu demandais.

[Rockleader]

Désolé j'ai lu ton post un peu vite, c'est bon je pense que j'ai compris.

Merci pour tout.

[Rockleader]

salut,

e_r=cos(phi).e_x + sin(phi).e_y où e_x, e_y fixes

tu dérives par rapport au temps: =-phi'.sin(phi).e_x + phi'cos(phi)e_y=phi'.(-sin(phi)e_x+cos(phi)e_y)


et tu remarques que e_phi=rotation(O,+pi/2)(e_r)=cos(phi)e_y-sin(phi)e_x ( l'image par la rotation de centre O et d'angle +pi/2 de e_x est e_y et celle de e_y est -e_x)

voila, bon courage.

Je pense qu'il y a une petite coquille dans ta démonstration; car si je regarde mon système de coordonnées e_phi se serait plutot sin(phi) - cos phi

Ce qui nous donnerait plutôt la façon suivante d'écrire.

e_r=cos(phi).e_x + sin(phi).e_y

(e_r)' = -phi '. sin(phi)e_x + phi' .cos (phi)e_y = - phi' (sin(phi)e_x - cos (phi) e_y)

Et là dans la parenthèses on retombe bien sur e_phi. Celui que tu trouves toi ce serait plutot -e_phi
non ?

Au final le résultat reste le même je pense; mais je préférerai m'en assurer.
Désolé si c'est encore une erreur de ma part...

[Rockleader]

Non j'ai rien dis c'était encore des inepties...je lisais avec le cos en fonction de e_x et le sin en fonction de e_y...mais là on a l'inverse donc c'est bon.

Désolé et merci.