Chute d'un objet et frottement de l'air

[Aëllys]

Bonjour,

Je suis biologiste mais je me retrouve avec un problème de physique... je sèche un peu, peut-être que des passionnés comme ceux qu'il y a ici pourront m'aider. :we:

Alors voilà:
Je fait chuter une bille de bois de 18mm de diamètre sur une hauteur de 60cm.
Je doit calculer temps de chute et vitesse finale. Jusque là je m'en sort... :id:

Là où ça devient coton c'est quand il me faut rajouter le frottement de l'air.
En effet ma bille chute dans un conduit où on envoi de l'air par le bas (sens contraire de la chute donc) à un débit de 10L/min.

Comment je doit faire pour prendre en compte le frottement, j'ai déjà une idée grâce aux sujets précédents de votre forum mais dois-je prendre en compte mon débit d'air ou non dans cette histoire??? :hum:


Merci d'avance de me filer un coup de main j'y suis depuis un moment!

[Black Jack]

- diamètre du conduit ?
- masse volumique du bois ?

:zen:

[Mathusalem]

Puis n'oublions pas la viscosité relative des deux matériaux

[Aëllys]

Le diamètre du conduit est de 13cm, je suppose que c'est pour calculer une vitesse pour l'air. Ou alors je suis à côté de la plaque ^^

Quant à la masse volumique de mes billes j'arrive à 730 kg/m3

Et j'avoue que depuis hier je ne suis gère plus avancée, je patauge... :soupir:

[Black Jack]

Poids de la bille: P = (4/3).Pi*R³ * g * Rho(bois) = (4/3) * Pi * 0,009³ * 9,81 * 730 = 0,0219 N

Vitesse de l'air dans le conduit: v = (10.10^-3/60)/(Pi.0,13²/4) = 0,0126 m/s

Dans un référentiel terrestre, la bille est soumise à 2 forces, son poids et la force de frottement air-bille.

Lorsque la vitesse est suffisamment grande, la force de frottement de la bille dans l'air est du type aérodynamique (proportionnelle au carré de la vitesse), lorsque la vitesse est faible, le frottement est du type frottement fluide (proportionnelle à la vitesse).

Voir par exemple ici : http://www.mecaflux.com/ecoulements%20et%20trainee%20de%20sphere.htm
et aussi ici: http://www.mecaflux.com/nombre_reynolds.htm

Pour v = 0,0126 m/s dans l'air à température ambiante, on calcule un nombre de Reynolds = 0,0126 * 18.10^-3/(1,5.10^-5) = 15 --> Cx bille = 3 environ
et pour v = 3,46 m/s (vitesse max de chute libre sans frottement) dans l'air à température ambiante, on calcule un nombre de Reynolds = 3,46 * 18.10^-3/(1,5.10^-5) = 4000 --> Cx bille = 0,4 environ

On peut tenir compte de cette variation de la valeur de Cx en fonction de la vitesse mais cela dépasse probablement ce qui est demandé à un biologiste ...

Si on simplifie, on peut considérer le Cx quasi constant et égal à 0,5 à partir de Re > 200 (voir courbe dans lien ci dessus), donc avec la bille du problème pour des vitesses > 0,17 m/s, soit après une chute d'environ 1,5 mm

Cette simplification est dong légitime dans le problème posé.

On peut donc calculer la force de trainée (frottement aérodynamique) de la bille dans l'air. (voir ici: http://fr.wikipedia.org/wiki/Tra%C3%AEn%C3%A9e )

F = (1/2) * 0,5 * 1,2 * Pi.(9.10^-3)².v² = 7,6.10^-3 v²

Ici, v est la vitesse relative entre la bille et l'air insufflé

Dans un repère terrestre d'origine à l'endroit où la bille est lachée et avex l'axe des z vertical vers le bas, on a donc :

P + F = m.d²z/dt²

0,0219 - 7,6.10^-3 v² = (0,0219/9,81) d²z/dt²

et v = 0,0126 + dz/dt

0,0219 - 7,6.10^-3 (0,0126 + dz/dt)² = (0,0219/9,81) d²z/dt²

Equation différentielle qu'il faut résoudre ...

z(t) est l'altitude de la bille en fonction du temps (avec z(0) = 0,6) et (dz/dt)(0) = 0 (vitesse initiale nulle))

Une fois z(t) trouvé, la durée de chute coorespond à la valeur de t pour laquelle z(t) = 0
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Toutes erreurs incluses. (rien relu)

:zen:

[Aëllys]

Un grand merci! :happy3:

Je vais reprendre les calculs pas à pas afin de comprendre quand même ce que je fais, mais c'est une aide très précieuse que tu m'a apporté.

Quant aux précisions sur le Cx, effectivement je ne pousserais pas le raffinement jusque là, ce ne sera pas nécessaire pour la suite de mon étude.