Camion tirant une chaîne

[Anonyme]

azertyuiop

[Benjamin]

Salut.
Mon idée : la vitesse v est la vitesse de l'extrémité droite de la chaîne. Or, l'extrémité gauche étant immobile, cela veut dire que la vitesse du centre de masse de la chaîne, qui se situe en son milieu, est v/2. Normalement, on applique le PFD sur G ;)

[Anonyme]

Salut.
Mon idée : la vitesse v est la vitesse de l'extrémité droite de la chaîne. Or, l'extrémité gauche étant immobile, cela veut dire que la vitesse du centre de masse de la chaîne, qui se situe en son milieu, est v/2. Normalement, on applique le PFD sur G

Bonjour !

Evidemment j'aurais dû y penser.

Merci bien

[Mathusalem]

Bonjour !

Evidemment j'aurais dû y penser.

Merci bien

C'est pas évident du tout en regardant le dessin. Il faut pouvoir interpréter le fait que 'une chaine très longue' implique une distribution linéaire de vitesse allant de 0 à v de part et d'autre de la chaine pour dire v_g = v/2

Si t'imagines la chaine comme sur un monticule (dessin), le centre de masse est immobile.

edit : J'ai pas vérifié le 'linéaire', mais bon, c'est quand même pas évident vu le dessin.

[Benjamin]

Salut Mathusalem,

en fait, la chaine est en train d'être déroulée par le tracteur. La chaine suffisament longue veut dire qu'on rajoute constamment de la longueur à la chaine : elle ne s'arrête pas de se dérouler.

De plus, chaque élément de la chaine se déplace bien à la même vitesse v. G n'est pas un point matériel mais un point mathématique : x_G(t) = L(t)/2 (centre de masse).
Quand la partie droite de la chaine a parcouru 1m, le centre de masse n'a parcouru que 50cm car on a rajouté de la masse à la chaine.

C'est un peu comme le roulement sans glissement où on parle de la vitesse du point de contact par rapport à la route qui vaut 0.

Ceci étant, en relisant le problème, je ne comprends pas pourquoi Vie89 a écrit que L(t) = at² et non pas a/2*t².

[Anonyme]

Salut Mathusalem,

en fait, la chaine est en train d'être déroulée par le tracteur. La chaine suffisament longue veut dire qu'on rajoute constamment de la longueur à la chaine : elle ne s'arrête pas de se dérouler.

De plus, chaque élément de la chaine se déplace bien à la même vitesse v. G n'est pas un point matériel mais un point mathématique : x_G(t) = L(t)/2 (centre de masse).
Quand la partie droite de la chaine a parcouru 1m, le centre de masse n'a parcouru que 50cm car on a rajouté de la masse à la chaine.

C'est un peu comme le roulement sans glissement où on parle de la vitesse du point de contact par rapport à la route qui vaut 0.

Ceci étant, en relisant le problème, je ne comprends pas pourquoi Vie89 a écrit que L(t) = at² et non pas a/2*t².

Re,

Car pour moi l(t), la "distance" de chaîne déplacée en fonction du temps, était égale à la vitesse du camion * temps de tirage. (d = vt simplement). Or v = at, donc..

Sans pas passer par le centre de masse, d'où aurait pu provenir ce fameux 2 ?

[Benjamin]

d = v*t quand v est constant, sinon c'est l'intégrale entre 0 et T de v(t)*dt. Et l'intégrale de a*t*dt avec a constant, c'est a/2*t².

Du coup, en raisonnant comme je l'ai fait, je trouverai F = 3/4*lambda*a²*t²....

Il doit y avoir quelque chose qui m'échappe.

[Anonyme]

d = v*t quand v est constant, sinon c'est l'intégrale entre 0 et T de v(t)*dt. Et l'intégrale de a*t*dt avec a constant, c'est a/2*t².

Du coup, en raisonnant comme je l'ai fait, je trouverai F = 3/4*lambda*a²*t²....

Il doit y avoir quelque chose qui m'échappe.

Ah exact, je n'avais pas fais attention à ça.. Du coup oui, il semblerait qu'on ne doit pas utiliser le centre de masse.. L'idée me paraissait pourtant plutôt logique au final.

[Black Jack]

Tant qu'on y est, voila ma réponse ... qui est différente de toutes celles évoquées jusqu'à présent.


La masse déroulée de chaîne est m(t) = Lambda.x(t) = a.Lambda.t²/2

Energie cinétique de la chaîne en t = t1 : Ec1 = (1/2).m(t1) * v(t1)² = (1/4).a.Lambda.t1² * v1² (avec v1(t) = a.t1)
Ec1 = (1/4).a.Lambda.t1² * a².t1²
Ec1 = (1/4).a³.Lambda.t1^4

En t = t1 + dt, avec dt un infiniment petit, on a :
Ec2 = (1/4).a³.Lambda.(t1 + dt)^4
Ec2 = (1/4).a³.Lambda.(t1^4 + 4.t³.dt) (les autres termes étant négligeables comme infiniment petits d'ordre supérieur).

Ec2 - Ec1 = a³.Lambda.t³.dt

(Ec2 - Ec) est égal au travail de la force F sur une distance dx = [(V(t+dt) + V(t))/2] dt
dx = [(a.(t+dt) + a.t)/2] dt = (at + a/2 dt) dt = at dt (en négligeant le terme d'infiniment petit d'ordre supérieur).

Sur l'intervalle de temps infiniment petit dt, on peut considérer que F est constante et donc :

a³.Lambda.t³.dt = F.a.t.dt

F = a².Lambda.t²

Et voila, encore une réponse différente.

:zen:

[Benjamin]

Attention Black Jack,

Le théorème de l'énergie cinétique n'est valable que dans le cas où m = cte ce qui n'est pas le cas ici.
En effet, voici sa démonstration :
2nd loi de Newton :
m*dv/dt = F donc m*dv/dt * v = F * dx/dt.
Or u' * u = (u²)'/2 donc on a 1/2*m*d(v²)/dt = F*dx/dt

Si m = cte, on a alors d/dt(1/2*m*v²) = F*dx/dt soit dEc = F*dx = travail de la force.

Si m n'est pas constant, la seconde loi de Newton s'écrit mdv/dt + dm/dt * v = F et ça ne marche plus. Tu parles dans ton post sur la RR de se souvenir des conditions d'applications des théories, on est en plein dedans là ;)

Pour un système à masse variable, dEc = 1/2 v² dm + m*v*dv.
Or, la seconde loi de Newton donne que le travail de la force vaut m*v*dv + v²*dm.

Si je ne m'abuse, le travail de la force est donc égale à dEc + 1/2v²dm, le deuxième terme représentant l'accroissement d'énergie à fournir par la force pour faire passer la masse dm qui s'ajoute au système de 0 à la vitesse v. En effet, à l'instant t (avant le dt donc), la partie de masse dm possède une vitesse nulle ! C'est comme ça que je l'interprète en tout cas, mais je ne suis pas non plus super sûr de moi.

EDIT : ceci étant, ça ne marche toujours pas, ça donnce une force encore plus importante. Je me rappelle que les système à masse variable m'ont toujours embêté, j'en ai bien la confirmation !! Faudrait que je révise lol.

[Black Jack]

Attention Black Jack,

Le théorème de l'énergie cinétique n'est valable que dans le cas où m = cte ce qui n'est pas le cas ici.
En effet, voici sa démonstration :
2nd loi de Newton :
m*dv/dt = F donc m*dv/dt * v = F * dx/dt.
Or u' * u = (u²)'/2 donc on a 1/2*m*d(v²)/dt = F*dx/dt

Si m = cte, on a alors d/dt(1/2*m*v²) = F*dx/dt soit dEc = F*dx = travail de la force.

Si m n'est pas constant, la seconde loi de Newton s'écrit mdv/dt + dm/dt * v = F et ça ne marche plus. Tu parles dans ton post sur la RR de se souvenir des conditions d'applications des théories, on est en plein dedans là

Pour un système à masse variable, dEc = 1/2 v² dm + m*v*dv.
Or, la seconde loi de Newton donne que le travail de la force vaut m*v*dv + v²*dm.

Si je ne m'abuse, le travail de la force est donc égale à dEc + 1/2v²dm, le deuxième terme représentant l'accroissement d'énergie à fournir par la force pour faire passer la masse dm qui s'ajoute au système de 0 à la vitesse v. En effet, à l'instant t (avant le dt donc), la partie de masse dm possède une vitesse nulle ! C'est comme ça que je l'interprète en tout cas, mais je ne suis pas non plus super sûr de moi.

EDIT : ceci étant, ça ne marche toujours pas, ça donnce une force encore plus importante. Je me rappelle que les système à masse variable m'ont toujours embêté, j'en ai bien la confirmation !! Faudrait que je révise lol.

Ah oui, et bien alors tout est pour le mieux.

...

dEc + 1/2 v².dm = F.a.t.dt

a³.Lambda.t³.dt + 1/2.a²t².(Lambda.v.dt)= F.a.t.dt

a³.Lambda.t³.dt + 1/2.a²t².(Lambda.at.dt)= F.a.t.dt

a².Lambda.t² + 1/2.a²t².Lambda = F

F = (3/2).a².Lambda.t²

Conforme à la réponse du corrigé.

:zen:

[Benjamin]

En faisant le raisonnement, je trouve la réponse qu'on est censé trouver (dans mon EDIT, j'avais oublié un facteur 2 ;))

La travail de la force, il est égale à l'accroissement d'énergie cinétique pour la masse m(t) (considéré constante à ce moment là) + l'énergie cinétique de dm qui passe de 0 à v.

Le premier terme vaut 1/2 * lambda * a*t²/2 * d((at)²) = 1/2 * lambda * a^3 * t^3 * dt.

Le second vaut d(lambda * a * t²/2) * (a*t)² = lambda * a^3 * t^3 * dt.

J'ai donc la puissance F*v (=F*(a*t)) qui vaut lambda * a^3 * t^3 * (1 + 1/2) = 3/2 * (lambda * a^3 * t^3) et donc F = 3/2 * lambda * (a*t)²...

EDIT : BJ a corrigé plus vite que moi.
Reste à comprendre où est mon erreur sur le raisonnement de la variation de la quantité de mouvement, avec mon centre de masse qui va moins vite que toute la chaine...

[Benjamin]

En fait, la quantité de mouvement de la chaine est bien m*v vu que chaque élément dm avance à v. Donc quand on intègre, le v sort.

[Anonyme]

Re,
Merci pour les réponses.
Cependant "ma" méthode de départ, maintenant que j'ai compris que le 2 venait de l'intégration, est fausse ?
Car elle est assez simple et plutôt rapide dans son genre :).

[Benjamin]

Non non, ta méthode est juste. C'est moi qui avait faux au début ;)

[Anonyme]

Compris. Merci à tous pour le coup de main ;).

À bientôt.

[Benjamin]

Je reviens sur cet exercice car on a écrit un peu tout et n'importe quoi et je veux corriger tout cela au cas où quelqu'un tomberait sur cette discussion.

On a oublié quelque chose d'essentiel : il y a 2 forces qui agissent sur le bout de chaine qui se déplie : la force du tracteur d'un côté et la force de la partie immobile de la chaine sur la partie mobile !! Et cette force que j'avais oublié me permet de comprendre ce qu'il m'échappait dans mon post #7.

Je pense que le plus simple ici, est de considérer la chaine en entier, de masse M = cte.

Si on met l'origine du référentiel à l'endroit où il y a le stock de chaine, alors le barycentre de la chaine complète est avec XG_Md le barycentre de la partie mobile de la chaine que j'avais calculé au tout début, soit . L'intérêt de l'origine du repère, est d'avoir un facteur nul avec (M-Md).

De plus, Md = L(t)*lambda.

Au finale, le centre de masse de la chaine totale est donc .

Et il suffit d'appliquer le PFD sur la chaine totale de masse M constante et dont la seule force extérieure est bien celle du tracteur : ce qui donne bien . Ouf !!

Maintenant (mais c'est hors cadre de l'exo), on peut reprendre mon raisonnement, avec V_G = a*t/2 et le système de masse variable Md et dériver la quantité de mouvement Md*Vg.
Alors, on trouve bien une force totale extérieur de , comme je l'avais trouvé au début. Ce qui permet de dire que la force de la partie mobile de la chaine sur la partie immobile vaut (ce qui permettrait de déduire un couple qui fait tourner un piquet sur lequel la chaine est accrochée par exemple).

La raison pour laquelle l'approche énergétique de BJ a fonctionné, c'est que cette force entre la partie mobile et immobile de la chaine a un point d'application fixe, et donc ne travaille pas.

A+