Calcul de la vitesse nécessaire pour compenser la gravité

[Prot0n]

Bonjour à tous,

J'aimerais savoir s'il existait une formule (ou autre moyen) pour calculer la vitesse nécessaire à un corps pour compenser l'attraction gravitationnelle.
Par exemple, à quelle vitesse doit aller la lune pour compenser l'attraction terrestre et ne pas s'écraser sur Terre.

Excusez moi si ma question est confuse mais je suis novice en la matière.
Merci d'avance pour vos réponses !

[hdci]

Bonjour,

Je ne vais pas faire de réponse "formelle", j'en suis désolé, mais plus une approche qualitative.
Il n'y a pas à proprement parler de "vitesse pour compenser", car la trajectoire parcourue est en fonction de la vitesse mais cela ne veut pas dire que le corps A tombe sur le corps B

Analyse théorique
En mécanique céleste, si tous les corps sont réduits à des points, il me semble que le seul cas où un corps A tombe sur un autre corps B, c'est quand son mouvement est rectiligne et passe par le point B. Autrement dit, lorsque le vecteur vitesse de A est coliénaire au vecteur . J'ajoute une dernière condition : si vecteur vitesse est opposé au vecteur (colinéaire avec un coefficient négatif), et si sa norme (valeur) est supérieure à la vitesse de libération au point A, alors le corps A s'échappe définitivement de l'attraction de B.

Dans tous les autres cas, le vecteur vitesse est tangent à une courbe qui est une conique (cercle, ellipse, parabole ou branche d'hyperbole) dont B est, je crois, un foyer. Donc le corps A ne rencontre jamais le corps B

Plus concètement
Attention, tout ceci, c'est quand le corps A et le corps B sont des points, ce qui est rarement le cas !
Donc "dans la vraie vie", le corps A rencontre le corps B lorsque l'on est soit dans le premier cas (mouvement aligné avec le centre du corps B), ou lorsque la conique parcourue par A rencontre la surface du volume occupé par le corps B.

Exemple avec Lune-Terre
La trajectoire de la Lune est à peu près circulaire. Cela veut dire que la vitesse (tangente à la trajectoire) tend à éloigner la Lune de la Terre, mais l'attraction tend à la rapprocher, les deux effets se compensant la Lune est toujours à me même distance de la Terre (d'où le cercle).

• Si on augmentait la vitesse de la Lune,
  
  • dans un premier temps, la trajectoire (tangente) serait plus prononcée que le déplacement lié à l'attraction, donc la Lune s'éloignerait de la Terre
  • Mais l'attraction s'effectuant alors avec un angle obtus avec le vecteur vitesse de la Lune, elle va réduire la vitesse de la Lune
  • Soit cette réduction est insuffisante et finalement la Lune décroche (cas d'une parabole ou d'une branche d'hyperbole)
  • soit la réduction est suffisante pour que finalement l'attraction l'emporte et la Lune se rapproche de la Terre
  • Mais alors dans ce cas, la vitesse de la Lune va augmenter car sur le retour, l'attraction fait un angle aigu avec le vecteur vitesse,
  • et à force d'augmenter, on revient sur le cas initial où finalement la vitesse tangente n'est plus compensée par l'atttaction et la Lune s'éloigne : on a fait une ellipse
• Si on réduisait la vitesse de la Lune, c'est le même phénomène que ci dessus, mais à l'envers : la Lune commence par se rapprocher, mais ce faisant sa vitesse augmente, jusqu'à ce qu'elle soit suffisamment élevée pour que la trajectoire fasse un angle obtus avec l'attraction, etc.
• Evidemment, dans ce qui est décrit ci-dessus, tout s'arrête si le centre de la Lune arrive à 4650km environ du centre de la Terre (car le diamètre de la Lune est 3474km, celui de la Terre est 12742, et à 4650km la surface de la Lune a rencontré celle de la Terre).

C'est exactement ce phénomène qui a été utilisé dans les envois des différentes sondes (Voyager, Pioneer, et plus récemment Rosetta) : phénomène "d'accélération" du style "lance-pierre" en passant au voisinage d'une planète (pour Voyager, ce fut Jupiter, puis Saturne...), et cela évite d'embarquer des kilotonnes de carburant au départ...

[aviateur]

Bonjour
Oui, il y a des formules. En effet suppose que la lune est uniquement attirée par la terre alors le calcul de la trajectoire est faisable. Mais je ne sais pas où les trouver.
Le mieux est de les calculer soi même avec des données trouvées sur internet ( où est la distance initiale est la vitesse initiale.
On applique la loi de la Gravitation Universelle, les calculs se font en coordonnées polaires, Elles vérifient un système différentiel assez facile à résoudre pourvu que l'on pense à remplacer par
On pose et
J'ai simplifié en supposant la vitesse initiale
On trouve alors et l'excentricité est

Avec les données initiales prises sur internet je trouve c'est à dire que l'on a (presque un cercle)
Par contre comme le dit @hdci, en divisant la vitesse initiale par 6 on trouve
En multipliant la vitesse initiale par 1.370256504580795, j'obtiens e=1, c'est à dire que l'on a
une parabole et la lune ne sera plus un satellite de la Terre. C'est peut être la réponse à ta question.

[Black Jack]

Salut,

Dans le cas de l'orbite elliptique :

Grand axe de l'ellipse : 2a

excentricité de l'orbite : e = c/a

distance la plus petite entre l'astre parent et le : satellite : a - c = a.(1 - e) (périhélie)
distance la plus grande entre l'astre parent et le : satellite : a + c = = a.(1 + e) (aphélie)

vitesse au périhélie :
v² = (G.M/a) * (1+e)/(1-e)

L'énergie mécanique du satellite au périhélie est donc : Em = 1/2.m.(G.M/a) * (1+e)/(1-e) - GmM/(a.(1 - e))
(avec la référence pour les Epp nulles rejetée à l'infini, comme de coutume avec ce type de problème).

Em = GmM/(a.(1 - e)) * ((1+e)/2 - 1) = GmM/(a.(1 - e)) * (e-1)/2

Em = - GmM/(2a)

L'énergie mécanique est conservée sur toute l'orbite et donc, avec d la distance instantanée entre le satellite sur son orbite et le centre de l'astre parent, on a :

1/2.m.v² - GmM/d = - GmM/(2a)

v² = 2GM/d - GM/a

v² = GM*(2/d - 1/a)



avec d variant dans [a.(1 - e) ; a.(1 + e)] (avec a le demi grand axe de l'ellipse et e son excentricité).

Dans le cas particulier où l'orbite est circulaire, alors e = 0 et a = d = R et on trouve

Pas vérifié.