Boule circulant dans un tube

[Anonyme]

Et Paf plus de problème :).

[Anonyme]

Personne n'est inspiré ? :happy2: .. En même temps je vous comprends un peu.

[Black Jack]

Bille à 3 h :



Soit V2 (référentiel terrestre) la vitesse du centre d'inertie de l'anneau seul.

Soit V1 la vitesse de la bille dans un référentiel lié à l'anneau.

Dans le référentiel terrestre, la bille est donc animée de la vitesse V3 (avec vecteur V3 = vecteur V1 + vecteur V2)

conservation de la quantité de mouvement : m.vect(vo) = m.vect(v2) + m.vect(v3)

et donc :
vect(vo) = vect(v2) + vect(v3)

vect(v3) = vect(vo) - vect(v2)

vect(v3) = vect(v1) + 2.vect(v2)

v3_y = v1 - v2.sin(Phi)
v3-x = V2.cos(phi)

V3² = V2².cos²(phi) + (v1 - v2.sin(Phi))²
v3² = v1² + v2² - 2.v1.v2.sin(Phi) (1)

Conservation de l'énergie cinétique :
m.Vo² = m.V2² + m.v3²
Vo² = V2² + v3²

avec (1) --> Vo² = V2² + v1² + v2² - 2.v1.v2.sin(Phi)
Vo² = 2V2² + V1² - 2.v1.v2.sin(Phi) (2)
******
On repart de vect(v3) = vect(v1) + 2.vect(v2)

en projetant sur les axes du repère :

Vo = 2.V2.cos(Phi)
0 = V1 - 2.v2.sin(Phi)

(2) devient :

Vo² = 2V2² + (2.v2.sin(Phi))² - 2.(2.v2.sin(Phi)).v2.sin(Phi)
Vo² = 2V2² + 4.V2².sin²(Phi) - 4.v2².sin²(Phi)
Vo² = 2V2²
V2 = Vo/racine(2)

Vo² = V2² + v3²
Vo² = Vo²/2 + V3²
V3 = Vo/racine(2)

Vo = 2.V2.cos(Phi)
Vo = 2.Vo/racine(2) * cos(phi)
cos(phi) = 1/V2
Phi = 45°

v1 = 2.v2.sin(Phi)
V1 = 2.Vo/racine(2)*1/racine(2)
V1 = Vo
*****
Donc avec la bille à 3 heures, dans un référentiel terrestre (repère avec axes dans la direction de ceux du dessin).

L'anneau se déplace à la vitesse v2 = Vo/racine(2) dans la direction et sens indiqué sur le dessin (avec Phi = 45°)
La bille se déplace à la vitesse V3 = Vo/racine(2) (direction et sens connus puisque on connait v1 = Vo (vitesse de la bille par rapport à l'anneau), v2 et Phi)

Comme toujours, toutes erreurs incluses.
*****
Remarque :

J'ai supposé que la bille glissait sans rouler, si ce n'est pas le cas, alors il faut tenir compte de l'énergie cinétique de rotation de la bille ... et cela complique les choses. (enfin peut-être)

:zen:

[Benjamin]

Salut,

Je ne fais pas pareil et je ne trouve pas la même chose (mais je suis loin d'être sûr de moi et il peut y avoir des erreurs aussi dans ce que j'ai fait !)

Je travaille dans le repère barycentrique R*. C'est un réflexe à avoir dans ce genre de problème à 2 corps.

On sait que dans le référentiel barycentrique, la résultante de la quantité de mouvement est toujours nulle, donc m*V(A/R*) + m*V(T/R*) = 0 soit V(A/R*) = -V(T/R*).

Comme tu l'as dit, le centre de masse se situe au milieu de segment [TA], et sa vitesse vaut de façon constante V0/2*u_x avec u_x orienté horizontalement de gauche à droite (est-ce que tu vois pourquoi ?)

Dans R*, la bille à un mouvement circulaire de rayon R/2 et sa vitesse vaut donc V(A/R*)=R/2*theta' u_theta, avec la définition classique du repère cylindrique (j'oriente u_y verticalement de bas en haut).

En appliquant le deuxième théorème de Koenig et par conservation de l'énergie cinétique, on a
m/2*V0² = m*(V0/2)² + m/2*(V(A/R*)²+V(T/R*)²) ce qui donne V0²/4 = (R/2*theta')² et donc theta' = -V0/R

Finalement, dans R*, V(A/R*)=-V0/2 u_theta et V(T/R*)=+V0/2 u_theta.

Ensuite, loi de composition des vitesses, V(A/R) = V(A/R*) + V(R*/R) et de même pour le tube.

A 3H, u_theta = u_y donc V(A/R) = V0/2 * (u_x-*u_y) et V(T/R) = V0/2 * (u_x+*u_y).

Et pareil pour la suite.
En gros, il y a un facteur racine(2) entre nous 2 :S

[Black Jack]

Pas sûr d'avoir bien compris.

Si tu peux remettre dans un référentiel terrestre, les modules de la vitesse de la bille et de l'anneau (pour 3 heures) que tu trouves, je pourrai facilement comprendre si on a bien conservation de l'énergie cinétique.

Je ne suis pas sûr que ce soit le cas avec ce que tu as trouvé.

Mais il se peut que je me trompe.

:zen:

[Benjamin]

Les relations que j'ai donné sont dans le référentiel terrestre et il y a bien conservation de l'énergie cinétique.

En effet, ||u_x-u_y|| = ||u_x-u_y|| = racine(2).

J'ai donc ||V(A/R)|| = ||V(T/R)|| = V0/2 * racine(2) = V0/racine(2).

Ec0 = m/2 * V0²
Ec(3h) = m/2 * [ (V0/racine(2)² + .(V0/racine(2)²]

et c'est bon.
Sauf erreur.

[Black Jack]

Les relations que j'ai donné sont dans le référentiel terrestre et il y a bien conservation de l'énergie cinétique.

En effet, ||u_x-u_y|| = ||u_x-u_y|| = racine(2).

J'ai donc ||V(A/R)|| = ||V(T/R)|| = V0/2 * racine(2) = V0/racine(2).

Ec0 = m/2 * V0²
Ec(3h) = m/2 * [ (V0/racine(2)² + .(V0/racine(2)²]

et c'est bon.
Sauf erreur.

Ben oui, mais c'est aussi ce que j'avais trouvé me semble-t-il :

Ma conclusion était (pour un référentiel terrestre)

L'anneau se déplace à la vitesse v2 = Vo/racine(2) dans la direction et sens indiqué sur le dessin (avec Phi = 45°)
La bille se déplace à la vitesse V3 = Vo/racine(2) (direction et sens connus puisque on connait v1 = Vo (vitesse de la bille par rapport à l'anneau), v2 et Phi)

:zen:

[Benjamin]

Salut, ah oui exact. J'avais pas fait gaffe que tu étais directement en module.

Pour le reste, je préfère ma méthode que je trouve plus "physique" là où la tienne est beaucoup plus "mathématique". Je n'ai pas réussi à comprendre toute la logique et pourquoi tu faisais tout d'un coup telle ou telle chose.

Comme je le disais, décomposer le mouvement en "mouvement du référentiel barycentrique" + "mouvement par rapport à ce référentiel barycentrique" est classique, relativement commode et que je trouve assez intuitif.

Je ne peux qu'encourager Vie89 d'avoir se réflexe. Après chacun son point de vue.

[Black Jack]

Oui, je n'ai absolument rien contre ta méthode... que j'utilise aussi parfois.

La seule chose qui me troublait était ton indication que les solutions finales par nos deux méthodes étaient différentes.

Remarque que ma méthode ne semble compliquée que parce que j'ai mené tous les calculs jusqu'au bout en les détaillant.

La mise en système d'équations (la partie raisonnement physique) est assez simple et ne demande que quelques lignes.

La suite n'est que du jeu de matheux (que je ne suis pas) pour résoudre le système d'équations trouvé. Et je pense ne pas avoir mené les calculs par la voie la plus directe, mais soit.

C'est déjà bien d'arriver au même résultat par les 2 méthodes.

Ce qui montre que soit c'est juste, soit qu'on s'est tous les deux trompés (mais cela je ne pense pas que ce soit le cas).


:zen:

[Anonyme]

Bonjour à tous,

Alors depuis le premier message de Black Jack, j'avais moi aussi trouvé le V0/racine de 2. En passant par cette relation de conservation de l'énergie :

1/2mV(tube)^2 + 1/2mV(boule)^2 = 1/2mV(tube)^2 + 1/2m[V(tube)^2 + V(boule)^2]

Seulement je partais sur un postulat faux, qui est que la vitesse du tube restait toujours celle du centre de masse. Du coup je trouvais bien la bonne réponse pour 3h, mais pas avec la bonne méthode.. J'y vois plus clair maintenant, grâce aux 2 méthodes proposées.

A propos de ta méthode Benjamin, peux-tu expliquer ce qu'est exactement le référentiel barycentrique ? C'est un référentiel en translation par rapport au référentiel terrestre ? C'est celui qui prend la boule comme "point d'origine" ?

Je vais maintenant continuer pour 6h, 9h et je posterai mes réponses ici.

Merci pour votre aide en tous les cas :lol3:.

[Anonyme]

Ah et pour Black Jack, je n'avais pas orienté la vitesse du tube V2, comme tu l'as fais dès le départ, comment connaître son orientation ? A partir de la vitesse du centre de masse ?

Merci bien.

[Black Jack]

Ah et pour Black Jack, je n'avais pas orienté la vitesse du tube V2, comme tu l'as fais dès le départ, comment connaître son orientation ? A partir de la vitesse du centre de masse ?

Merci bien.

Pour l'orientation de V2 :

On peut raisonner par la force centrifuge que la bille exerce sur l'anneau.
Cette force est dirigée, à tout instant, vers l'extérieur du cercle.
Lorsque la bille passe dans le 1/4 supérieur droit de l'anneau (sur le dessin), la force centrifuge a partout une composante vers le haut et la droite (puisque vers l'extérieur du cercle) et donc forcément lorsque la bille arrive à 3 h, la force moyenne qu'a subi l'anneau depuis le début est donc dirigée vers le haut à droite ... et par conséquent la vitesse de l'anneau (quand la bille passe à 3 h) est vers le haut à droite.

Explication pas très rigoureuse ... et donc criticable. Mais elle devrait suffire pour comprendre.
*****
La valeur de l'angle Phi = 45° est sorti des calculs ... mais il est aussi possible de la "sentir" par raison de symétrie.


:zen:

[Benjamin]

Salut,

Si on prend un référentiel de référence galiléen (comme le référentiel terrestre dans le problème qui nous occupe), et un système de points de centre de masse G, alors le référentiel barycentrique R* associé à ce système est en translation par rapport à R et tel que G est fixe dans R*.

Attention, ici translation est pris en sens large : il peut s'agir d'une translation circulaire, et le mouvement peut être accéléré : ainsi le référentiel R* n'est pas forcément galiléen (attention donc à l'application du PFD dans R*).

Un choix classique est de lui associé comme repère celui dont le centre est G et dont les axes sont colinéaires à ceux du repère de référence associé à R mais ce n'est pas obligatoire.

On a donc et .

Intérêt d'un tel repère :

Pour tout référentiel R, si on calcule la quantité de mouvement du système de point matériel, on trouve
avec v_(i/R) la vitesse de chaque point matériel par rapport à R et v_(G/R) la vitesse du centre de masse G par rapport à R.

Si on écrit cette relation dans R*, il vient donc . Or, dans le référentiel barycentrique, par définition, v_G* = 0 donc .


1. On peut aussi montrer que le moment cinétique exprimé dans R* est particulier : en effet, il ne dépend pas du point par rapport auquel on le calcule !
   
   
2. Les théorèmes de Koenig qui relie les grandeurs (vitesse, énergie, quantité de mouvement, moment cinétique) dans R au grandeur dans R*, en disant que la grandeur dans R est égale à la grandeur dans R* plus la grandeur associée au centre de masse dans R.
   On a donc
   ==> On retrouve le point 1 en fait : ouf, tout va bien
   
   
   
   

[Benjamin]

Oui, je n'ai absolument rien contre ta méthode... que j'utilise aussi parfois.

La seule chose qui me troublait était ton indication que les solutions finales par nos deux méthodes étaient différentes.

Ca, c'est de ma faute : il faut que j'achète des yeux sans doute :mur:

Remarque que ma méthode ne semble compliquée que parce que j'ai mené tous les calculs jusqu'au bout en les détaillant.

La mise en système d'équations (la partie raisonnement physique) est assez simple et ne demande que quelques lignes.

Certes, mais plus on fait des calculs, plus on peut faire des erreurs

La suite n'est que du jeu de matheux (que je ne suis pas) pour résoudre le système d'équations trouvé. Et je pense ne pas avoir mené les calculs par la voie la plus directe, mais soit.

.
Je t'avoue que j'ai pas regardé la résolution en détails pour savoir si on peut aller plus vite au but.

C'est déjà bien d'arriver au même résultat par les 2 méthodes.

Ce qui montre que soit c'est juste, soit qu'on s'est tous les deux trompés (mais cela je ne pense pas que ce soit le cas)

Je pense qu'on a juste

[Anonyme]

Re,

Tout d'abord, merci pour vos dernières réponses.


@Black Jack : merci ! Je comprends mieux oui .


@Benjamin : quelques questions,

Comme tu l'as dit, le centre de masse se situe au milieu de segment [TA], et sa vitesse vaut de façon constante V0/2*u_x avec u_x orienté horizontalement de gauche à droite (est-ce que tu vois pourquoi ?)

Pour l'orientation de ux, non je ne vois pas pourquoi tu l'as orienté tout de suite vers la gauche et non dans le sens des x positifs. C'est sûrement en rapport avec une autre de mes questions un peu plus bas..

Dans R*, la bille à un mouvement circulaire de rayon R/2 et sa vitesse vaut donc V(A/R*)=R/2*theta' u_theta, avec la définition classique du repère cylindrique (j'oriente u_y verticalement de bas en haut).

Le R que tu utilises est le rayon a de l'énoncé ? Tu dis que la mouvement a un mouvement circulaire de rayon a/2 donc. Si j'ai bien compris ton dernier message, c'est parce que le centre de mon repère R* est G justement ?

En appliquant le deuxième théorème de Koenig et par conservation de l'énergie cinétique, on a
m/2*V0² = m*(V0/2)² + m/2*(V(A/R*)²+V(T/R*)²) ce qui donne V0²/4 = (R/2*theta')² et donc theta' = -V0/R

Tu écris que théta' vaut -V0/R et non pas +, cela entraîne que le tube se déplace dans le sens "négatif", c'est à dire le sens inverse des aiguilles d'une monte si je saisis bien.. Comment le sais-tu ? Ceci est en rapport avec l'orientation de ux du centre de masse au départ ?

Ensuite, loi de composition des vitesses, V(A/R) = V(A/R*) + V(R*/R) et de même pour le tube.


A 3H, u_theta = u_y donc V(A/R) = V0/2 * (u_x-*u_y) et V(T/R) = V0/2 * (u_x+*u_y).

Et enfin, que représente ceci V(R*/R) ? Car j'ai du mal a comprendre le passage entre ton avant dernière et ta dernière ligne..

Merci bien, j'essaie en parallèle de continuer. :lol3:

[Benjamin]

J'ai eu la flemme de faire un dessin, du coup, tu es un peu perdu et je comprends.
Je corrige ça.


En fait, je place l’origine du repère R* sur G, et je laisse ses axes parallèles à ceux du référentielle terrestre, de sorte que u_x* = u_x et u_y* = u_y.

V(R*/R) correspond tout simplement à la vitesse de G par rapport à R (vu que G est fixe dans R*).

Ce qu'il faut comprendre dans ce problème, c'est que G avance horizontalement suivant l'axe u_x, et que la boule et le centre du tube tourne autour de G. Si on se place dans R*, c'est-à-dire qu'on imagine G fixe, on a tout simplement 2 mouvements de rotation opposés. Imagine le segment [AT] qui tourne autour du point G.

Pour moi, A c'est le nom du point, qui va se déplacer. Le rayon du tube est R, et comme G est à la moitié de TA, la distance entre T et G et la distance entre G et A sont toujours les mêmes et veulent toutes 2, R/2.

Avec mon schéma, tu devrais voir pourquoi j'ai mis un signe (-) pour theta'

Sinon, V_G = V0/2 u_x car :
V_G est constant car système pseudo isolé (par de force horizontale, et compensation des forces verticales)
V_G = V_G(t=0) = (m*V_A(t=0)+m*V_T(t=0))/(2*m).

Or, V_T(t=0) = 0 et V_A(t=0) = V0 u_x.

En fait, j'ai montré que d'une part G (donc R*) se déplace de façon constante à V0/2 u_x rapport au référentielle terrestre R et que d'autre part, dans R*, la vitesse du point A vaut -V0/2 u_theta et la vitesse du point T vaut +V0/2 u_theta.

C'est clair ?

[Anonyme]

Re (encore ),

Très grand merci ! Une des questions n'en était pas vraiment une, pour le sens de la vitesse du point G, car j'avais simplement mal lu ce que tu avais écris, évidemment que l'orientation +u_x est logique .
Pour le reste des explications, c'est ok maintenant ! Merci aussi pour le schéma.


Voici la fin du problème, si je me trompe pas :

Pour 6h :

V(boule) = 0

V(tube) = V0 (dirigée vers la droite : V0*(u_x))


Pour 9h :

V(boule) = V0/sqrt(2) ( avec en vecteur : V0/sqrt(2)*(u_y + u_x), cette fois).

V(tube) = V0/sqrt(2) (avec en vecteur : V0/sqrt(2)*(u_x - u_y)).



Pour 12h :

V(boule) = VO

V(tube) = 0

Ce cas là on connaît déjà .

---------------------------

Voilà ! En tout cas, une chose à dire, c'est que grâce à très bonnes explications à tous les deux, j'y vois beaucoup plus clair, et je pourrai me ré-entraîner en le refaisant. Exercice très intéressant.

Encore merci ! .

A bientôt. :we:

[Benjamin]

C'est ça.
Attention, juste une coquille :

Pour 9h :

V(boule) = V0/sqrt(2) ( avec en vecteur : V0/2*(u_y + u_x), cette fois).

V(tube) = V0/sqrt(2) (avec en vecteur : V0/2*(u_x - u_y)).

En vecteur, il n'y a pas la racine de 2, qui apparait avec la norme de u_x ± u_y

[Anonyme]

C'est ça.
Attention, juste une coquille :



En vecteur, il n'y a pas la racine de 2, qui apparait avec la norme de u_x ± u_y

Oui évidemment.. Au temps pour moi.

Merci Benjamin,

A bientôt