Cardinal quantitatif et autres travaux mathématiques (1)

[bolza]

"D'accord, vous avez donnez un sens a double, ça me va.
Mais ce double là a-t-il les même propriétés que le double sur les nombre ?"

je peux vous retourner la question,
deux infinis il y a bijection classique 1 pour 1, = on dit autant de
ce autant de a-t-il les mèmes propriétés que ...

Je n'ai pas à accorder plus de valeur à pour 1 j'ai tiujours 1 et un seul
au pour 1 j'ai toujours 2 deux "uniques"

il se trouve que les deux sont vrais pour N, pour R,
donc pour mes rayons et mes diamètres,...

Le "autant" n'a pas le même statuts que "double" car la notion de double
dans le sens commun fait intervenir une opération arithmétiques.

Et oui, mon "autant" à le même sens dans le cas fini et infini parce que dans les deux cas
il s'agit d'une correspondance un à un.

[bolza]

Non, mais il faut considérer leur point commun , à part, et le mettre de côté, et étudier et comparer les restes des 2 suites, puis réintégrer le point .

D'accord, donc appelons P "la quantité de nombre pair".
PA "la quantité de nombre" A dans le shéma d'avant.

6)-Selon vous P est différent de PA ??

[bolza]

Non. ------------------------------------------------------

7-)Donc par le même raisonnement, si j'appelle PN "la quantité" d'entier naturel, et
PB la quantité du nombre de B du shéma d'avant, on a aussi PN égal à PB ?

Comme PB est le double de PA, alors PN est le double de P.
On est d'accord ?

[bolza]

Non :



et

Ok donc si maintenant je reprend la même figure (avec les A et les B)
mais cette fois ci je renomme les A et les B comme ceci :



Alors par exactement le même raisonnement qui nous a mener jusqu'ici on a :
P = 2 PN + 1.

Non ?

[bolza]

Pardon, j'ai changé de réponse, en cours de route.

Il faut traiter les points et , à part, et considérer les restes des 2 suites.

c-à-d

Ce n'est pas très important, ça ne change pas beaucoup ma question,
ça veut dire que par le même raisonnement qui nous a mener jusqu'ici (cf figure de mon message précédent) on a aussi :

P = 2 PN ?

[bolza]

Vous voulez donc un cardinal qui dépend d'une "vitesse de progression" ??? o_O

Edit :
Pardon, vous avez modifier votre message entre temps, s'il vous plait, évitez de faire ça :/
ou alors fait des "Edit" ou des "P.S" comme ici

[bolza]

Le raisonnement que j'ai fait précédemment, est faux.

Le bon est le suivant :

L'ensemble des points de la première suite est strictement moins dense que l'ensemble des points de la seconde,

donc le cardinal quantitatif de l'ensemble des points de la première est strictement plus petit que celui de l'ensemble des points de la seconde.

Cf. mon lien ci-dessous :

http://www.fichier-pdf.fr/2014/12/22/cardinal-quantitatif-de-parties-de-r-n-5/cardinal-quantitatif-de-parties-de-r-n-5.pdf

Oui c'est ce qu'on a dit, il y a "deux fois plus" de "B" que de "A", donc "le nombre de A" est "strictement plus petit" que "le nombre de B".

La question c'est quand je nomme les "A" (qui en fait représente des points) et les "B" comme ceci :



ou alors comme ceci :



j'abouti à "PN > P" et "PN < P" ce qui pour moi est un paradoxe.

[bolza]

Je tiens beaucoup à la qualité de mes messages :

Aussi, je les modifie souvent afin d'en obtenir la forme la plus parfaite et la plus complète.


Mais là, c'est parce que voyant que mes réponses n'allaient pas, je devais revenir sur ces dernières.

Oui, mais comme vous l'a fait remarquer quelqu'un d'autre c'est à la limite de la mauvaise fois,
et quelqu'un qui lirait ce fil ne comprendrait plus rien car les questions serait incohérente par rapport
au réponse précédente.

[bolza]

Il faut plutôt utiliser la notion de densité quantitative, et ce n'est pas en juxtaposant 2 suites, en en espaçant plus ou moins, les termes, qu'on y parvient.

d'accord, donc dans ce "dessin" (ça y est j'ai trouver comment faire mes points ^^):



Ce qui est important ce n'est pas comment on nomme les points,
mais leur densité quantitative, c'est bien cela ?

Donc pour le cardinal d'ensemble d'entier, il dépend de la densité quantitative qu'ils ont
sur la droite des réels c'est bien cela ?

[bolza]

Attention : La densité quantitative d'une suite à valeurs dans ou dans , dépend, exclusivement, des espacements consécutifs ou plus précisément des distances consécutives qu'il y a entre 2 points (immédiatement) consécutifs de cette suite.

Vos schémas ne traduisent en rien, cette notion.

Vous vous en douter, la notion de "densité quantitative" va être aussi à définir ?
Et la relation entre la densité quantitative et le cardinal quantitatif aussi.

Que signifie la notion de densité quantitative si on a un ensemble comme {1,3 47,2567,2568, 4000, ....} ?

Que signifie-t-elle simplement sur l'ensemble des entiers ? sur l'ensemble des nombres paires ?

[Ben314]

Je vous renvoie à http://www.fichier-pdf.fr/2014/12/22/cardinal-quantitatif-de-parties-de-r-n-5/cardinal-quantitatif-de-parties-de-r-n-5.pdf.

Pas mal celui là non plus de la part de quelqu'un qui prétend avoir des rudiments de mathématiques.
Petite question naïve : La toute première affirmation est "On ordonne les éléments de R dans l'ordre croissants de manière telle que...".
Vous pouvez un peu détailler qui seront vos dans le cas où est l'ensemble des avec .
Et si ?

[beagle]

Le "autant" n'a pas le même statuts que "double" car la notion de double
dans le sens commun fait intervenir une opération arithmétiques.

Et oui, mon "autant" à le même sens dans le cas fini et infini parce que dans les deux cas
il s'agit d'une correspondance un à un.

Je comprends pas pourquoi je dois justifier ce truc qui ne gène en rien la théorie et qui mème l'illustre non?

La bijection commence dès la maternelle alors que ne sachant mème pas si on 7 ou 8 machins ou trucs, ben l'enfant sait qu'il peut donner un bonbon à chaque personnage, l'enfant sait qu'il peut mettre une fleur dans chaque vase, car il peut relier un bonbon à une personnage, une fleur à un vase, et que l'on va de un vers un pour tous les éléments.Bref, il sait qu'il y a autant avant que de connaitre la cardinalité exacte.

Et c'est quasi idem pour les doubles.J'avais pris l'exemple de une personne c'est une tète et deux bras, si on prend plusieurs personnes on aura le double de bras que de tète,
par la correspondance terme à deux termes.C'est idem avec le nez et les oreilles.La situation du double n'a aucunement besoin d'ètre hyperchiadée.Pour tout un j'ai deux.
Pour tout diamètre du cercle j'ai deux rayons et cette relation est unique il n' y a pas deux diamètres ayant un mème rayon dans la correspondance ici choisie.Et tout rayon vient d'un diamètre.C'est du pour tout nez j'ai deux oreilles.Je ne comprends pas pourquoi cela pose problème.

[bolza]

Je comprends pas pourquoi je dois justifier ce truc qui ne gène en rien la théorie et qui mème l'illustre non?

La bijection commence dès la maternelle alors que ne sachant mème pas si on 7 ou 8 machins ou trucs, ben l'enfant sait qu'il peut donner un bonbon à chaque personnage, l'enfant sait qu'il peut mettre une fleur dans chaque vase, car il peut relier un bonbon à une personnage, une fleur à un vase, et que l'on va de un vers un pour tous les éléments.Bref, il sait qu'il y a autant avant que de connaitre la cardinalité exacte.

Et c'est quasi idem pour les doubles.J'avais pris l'exemple de une personne c'est une tète et deux bras, si on prend plusieurs personnes on aura le double de bras que de tète,
par la correspondance terme à deux termes.C'est idem avec le nez et les oreilles.La situation du double n'a aucunement besoin d'ètre hyperchiadée.Pour tout un j'ai deux.
Pour tout diamètre du cercle j'ai deux rayons et cette relation est unique il n' y a pas deux diamètres ayant un mème rayon dans la correspondance ici choisie.Et tout rayon vient d'un diamètre.C'est du pour tout nez j'ai deux oreilles.Je ne comprends pas pourquoi cela pose problème.

Le problème est dans le sens des mots. Chaque mots a un sens qui véhicule une idée.
L'idée de "double" c'est deux fois plus.

Si on prend votre définition de double qui est la "correspondance 1 vers 2".
Alors prenons l'exemple des entiers.

à chaque entiers, je peut faire correspondre de façon unique deux autres entiers.
Par exemple à 0 j'associe (0,1), à 1 j'associe (2,3), à 2 j'associe (4,5) .... etc

j'ai donc une "correspondance 1 vers 2" de l'ensemble des entiers vers lui-même.
Et donc :

Il y a deux fois plus d'entiers que d'entiers.

Mais quel est le sens de cette phrase ???
Quelle idée véhicule ici le "deux fois plus" ??

Vous avez 5 gus donc 10 bras d'accord, vous avez une infinité de gus donc ??? de bras ?

Mais je crois que je comprend votre question maintenant.
On peux arranger les rayons et les diamètres pour avoir une correspondance un à un,
mais on peut aussi les arranger pour avoir une correspondance 1 vers 2.
Et vous vous demander pourquoi avoir choisis la première et pas l'autre ?
dans un cas on parlerait de "autant" et dans un autre de "double" ?

Mais peut être ici le vocabulaire est mal choisi.
Déjà quand on dit "le nombre" de rayon, ça donne une idée fausse dès le départ.
Car "nombre" véhicule l'idée de quantité fini. 5 est un nombre, pi en est un autre, etc...
Mais là on n'a pas a faire à un nombre, on a à faire à "une quantité" infini.

Actuellement on distingue deux infinis :

-les infinis dénombrables : ceux qui sont en bijection avec N.
-les infinis non dénombrables : ceux qui sont en bijection avec R.

Donc plutôt que de dire qu'il y a "autant" de rayon que de diamètre, ou qu'il y en a le "double",
qui sont des mots dont le sens est peut être mal défini dans ce contexte,
la formulation correcte serait plutôt :

les rayons et les diamètres d'un cercle sont tous les deux des infinis indénombrables.

Après considérer si deux infinis indénombrables (resp. dénombrables) ont la même "quantité"
d'élément ou pas, cela apporte-t-il vraiment quelque chose ? et cela a-t-il un sens au moins ?

Maintenant je n'ai pas les compétences pour répondre à ces dernières questions,
qui peuvent donner lieu à de long débats je pense.

[bolza]

Que pensez-vous de la définition suivante ? :

est une chaîne d'inclusions de parties de , maximale ssi

et

Elle est, nécessairement, totalement ordonnée

Moi qui travail avec la théorie des type, quand je lis :

est une chaîne d'inclusions de parties de ,

et




Je dis : "Erreur de typage'

[beagle]

"Si on prend votre définition de double qui est la "correspondance 1 vers 2".
Alors prenons l'exemple des entiers.

à chaque entiers, je peut faire correspondre de façon unique deux autres entiers.
Par exemple à 0 j'associe (0,1), à 1 j'associe (2,3), à 2 j'associe (4,5) .... etc

j'ai donc une "correspondance 1 vers 2" de l'ensemble des entiers vers lui-même.
Et donc :

Il y a deux fois plus d'entiers que d'entiers.

Mais quel est le sens de cette phrase ???
Quelle idée véhicule ici le "deux fois plus" ??"

.................................................

Il est curieux que cela gène dans ce sens, alors que la mème astuce de décalage des pairs vers tous les entiers, c'est le mème genre de blague, et là cela ne génait pas pour dire "autant" de pair que d'entiers"

Maintenant le reste de ta réponse bolza qui emprunte plus de prudence dans les mots employés est sans doute plus raisonnable en effet, tu as raison.
Mais on peut aussi le voir comme une illustration (les pairs et les entiers, les rayons et les diamètres) comme une illustration du fait que cardinal de l'infini de n est de mème cardinal lorsque addition d'entiers et lorsqu'on multiplie les entiers 2x N ou kxN reste de mème cardinal, et idem dans R fois 2 comme fois k, ne change rien ...

par contre et c'était là l'intérèt porté au fil de discussion, les pairs sont inclus dans les entiers, les rayons du demi-cercle dans les rayons du cercle entier, donc quid lorsque l'on essaye de tenir compte de ce fait,...

[bolza]

Moi qui travail avec la théorie des type, quand je lis :



et




Je dis : "Erreur de typage'

Je suis désolé, là c'est moi qui ait dit une ânerie.
l'ensemble des partie de Rn est "un ensemble d'ensemble",
et la chaine d'inclusion est aussi "un ensemble d'ensemble".

[Ben314]

Le premier cas dont tu parles, est, normalement, exclu par mes hypothèses :

Ah bon ???? Et elle sont situées où ces fameuses "hypothèses" ?

Le cas où , est exclu car, dans ce cas, le terme n'existe pas.

Visiblement, même le B-A-BA des maths, tu le comprend pas : je n'ai jamais dit qu'on prenait (ce qui en plus ne veut rien dire à cause du ), ce que j'ai dit, c'est que je prenait pour R l'ensemble des réels de la forme avec n entier non nul.
Et c'est TOI qui affirme que si on prend une partie R dénombrable des réels (donc par exemple ce R là), on peut l'écrire sous la forme d'un ensemble de indexé sur Z et tel que soit croissant et c'est clairement faux pour l'immense majorité des parties dénombrables de R^n.

Pour éviter ce genre de problème, rend toi, immédiatement, à partir de la page 5 (seconde moitié) qui traite des parties de la forme

Ben... non : si la première ligne de la page 1 est déjà totalement fausse, je vais pas plus loin.

Le cas : C'est impossible, car

C'est qui les dont tu perle ici ? C'est quoi qui est "impossibl" ?
Si c'est ce que tu affirme pouvoir faire (i.e. " ordonner les éléments dans l'ordre croissant de maniere telle que...") alors oui, c'est effectivement impossible pour un tel R alors qu'il vérifie tout a fait ton hypothèse (son cardinal est bien dénombrable). Donc ce que tu affirme est faux, un point c'est tout.

Conseil : Regarde, avant tout, les idées générales dont j'ai voulu parler ou que j'ai voulu mettre, et seulement après, regarde et pinaille sur les détails :

Le problème, c'est que des idées, il n'y en a aucune : uniquement des suites d'affirmations soient totalement fausse, soit sans aucun intérêt, soit incompréhensibles vu qu'il n'y a aucune définition concernant les objets manipulés.

Taper ce genre de PDF demande certains efforts de concentration et de vérification :

Eh ben... J'arrive pas a imaginer ce que ça aurait pu être si si tu n'avais pas fait d'efforts...

Habituellement, je suis seul à faire ces travaux, et il n'y a personne d'autre que moi pour les vérifier.

Pour "vérifier" un truc, ben faut déjà que le truc en question ait du sens...

[bolza]

Tu m'as très mal compris : Je n'affirme pas que mes hypothèses ou mes conditions sont vraies, en général : Je travaille sous ces hypothèses ou ces conditions : Ce sont des hypothèses ou des conditions de travail.

Plus précisément, j'ai dit que si on travaillait sous ces hypothèses ou ces conditions, alors on avait ...

Le problème c'est que tu t'exprime vraiment très mal, donc ça n'aide pas à ce que l'on te comprenne bien.

Le passage mentionner par Ben314 correspond à la deuxième ligne du début du fichier
Donc les seuls hypothèses qui sont faite à ce stade se trouve à la première ligne :

"Soit R et S des ensemble de R dénombrable"
Et la ligne juste en dessous est :

"On ordonne leurs élément de manière telle que ..."

C'est donc clairement une affirmation.

Si tu voulais dire que le faite qu'on puisse ordonner des éléments par ordre croissant,
font parti des hypothèse que doivent vérifier R et S, Alors tu t'est vraiment très mal exprimer.

Comment veut-tu qu'un lecteur qui lit : "On ordonne les éléments tels que..." puisse imaginer un seul instant que tu fais là une hypothèse ????

Et là on est seulement qu' au début du fichier, si toutes les autres pages sont comme ça
comment ose tu espérer qu'on puisse ne serait-ce que te comprendre ????

[bolza]

soient .

Déjà rien que là, on n'est qu'au début du fichier et tu commence déjà à utiliser des symboles
comme ou . c'est quoi cardE ???

Pourquoie ne pas dire simplement : Soit R et S deux ensembles de réels et dénombrables
c'est très clair, et on a nullement besoin ici d'introduire un "cardE" dont on ne sais pas ce que c'est.

J'ai une idée de ce que c'est parce que j'ai suivi la discussion,
mais un lecteur qui prend le document et qui le lis : il ne comprend rien.

Quand on écrit un document scientifique, on commence d'abord par l'état de l'art.
donc une petite introduction sur les cardinaux de Cantor, c'est bien, ça mets les gens dans le bain.
ça les familiarise avec le sujet, leur rappel quelque truc qu'ils avait oublié ...
(et accessoirement ça montre que vous maîtrisez un minimum quelques notions mathématiques)

Ensuite viens la phase de transition où tu dis voilà les cardinaux de cantor c'est bien,
mais c'est pas suffisant si on veut faire ça , ça ou ça.

Et donc je vais vous présenter mon supermégagénial cardinal à moi.

Mais avant de passer tout de suite à des propriétés de ta fonction, il faut que tu saches que
une fonction ça a un ensemble de départ et un ensemble d'arriver.

donc avant toutes chose tu dis que ton cardinal prend en argument un ensemble et retourne une
valeur dans QUELQUECHOSE.

où ce QUELQUECHOSE est l'ensemble d'arriver de ta fonction cardinal (celle que tu notes cardQ).
ce QUELQUECHOSE est sûrement quelquechose de nouveau, qui n'existe pas encore.

Donc AVANT de parler de ton cardinal,
tu présentes D'ABORD ce QUELQUECHOSE.

Tu dis voilà, je définis QUELQUECHOSE comme étant ça ça et ça,
ensuite tu présentes les propriétés que vérifient les éléments de QUELQUECHOSE

voilà sur QUELQUECHOSE, je peux définir une addition, une soustraction, une multiplication et
une division de telle manière, je définis aussi une relation d'ordre que je noterais
etc .....

Une fois que cela est fait ET SEULEMENT ENSUITE tu dis voici les propriété de mon cardinal blablablabla ...


Donc pour l'instant ta priorité n'est pas de penser à ton cardinal,
mais ta priorité est de penser à ce QUELQUECHOSE.

[bolza]

est le cardinal classique ou le cardinal de Cantor noté habituellement , que je nomme aussi cardinal équipotentiel, pour le distinguer du cardinal quantitatif, qui mérite tout autant son appellation que le premier, car tout deux cherchent à étendre la notion de quantité d'éléments dans le cas d'ensembles finis à n'importe quel ensemble.

Oui merci, c'était ce qu'on appelle de la réthorique, ce n'était pas une vrai question,
si seulement tu avais lu ce qu'il y a en dessous tu l'aurai compris.

Est-ce que tu lis ce qu'on te dit au moins ????
J'ai pas l'impression, et si tu l'a lu tu l'as compris au moins ?
je n'ai pas l'impression non plus.

Ce 'est pas à moi qu'il faut répondre, c'est à tes lecteur.
c'est dans ton document qu'il faut l'écrire, et encore, ce que suggérait ici c'était de carrément
se passer de notation mathématiques.

Car après tout la question initial portait sur ton document, je t'ai dis que pour moi ça n'avais pas de
sens, et je t'ai expliqué plus haut comment je l'améliorerait.

J'ai répondu à ta question, maintenant tu en fais ce que tu veux, bonne continuation.