VRAI ou FAUX sur les suites...

[Capucinae]

Bonjour ! :we:

J'ai un vrai ou faux sur les suites à rendre en DM. Si je réponds vrai, je dois donner une démonstration. Si je réponds faux, un contre exemple.

Et j'ai la question suivante :
Si la suite (Un) converge, alors elle est bornée

En cherchant sur le Net, j'ai trouvé la démonstration suivante :
soit L=limUn
soit e>0 alors il extste N tel que qq soit n>N |Un-L|0

prenons e=|L| par exemple donc il existe N tel que |Un-L|N |Un| N, c'est un entier naturel quelconque ?
--> n, c'est un entier naturel quelconque aussi ?
--> e, qu'est-ce que c'est ? un réel ? un naturel ? J'avoue n'en avoir aucune idée... même si je pencherais pour un entier naturel, vu qu'on parle de suites. Et d'où sort cette lettre ?

Au final, pourriez-vous m'expliquer globalement les grandes lignes de cette démonstration ? Et m'indiquer ce à quoi correspondent chaque ligne ?

Merci par avance !
Bon aprés-midi à tous ! :we:

[Capucinae]

up s'il-vous-plaît !

[Ben314]

Salut,
Ce que tu as trouvé sur le net, c'est la définition de :
"la limite quand n tend vers l'infini de Un est égal à L"
En détaillant, cette définition dit :
"Pour tout réel epsilon>0 (aussi proche de 0 que l'on veut), il existe un entier naturel N tel que, pour tout entier naturel n supérieur à N, on ait |Un-L|<epsilon (où |.| désigne la valeur absolue)"

Le problème, c'est que, vu la façon dont tu apréhende cette définition, je pense que tu ne l'as pas vue en cours (il me semble qu'elle n'est plus au programe du lycée...) donc tu n'est pas sencé t'en servir.

Il faudrait savoir quelle définition tu as des limites de suites dans ton cours pour pouvoir en déduire une preuve du fait que toute suite convergente est bornée...

[dudumath]

Si la suite converge, en notant L sa limite, alors a partir d'un certain rang No tous les termes seront proches de L, donc bornés.
On considère maintenant les termes d'indice inférieur à No, alors ils sont en nombres finis donc ils sont tous inférieurs ou égaux au plus grand (en valeur absolue)

Donc convergence=>bornée

[Capucinae]

Re-bonjour !

J'ai effectivement vu cette définition : "La limite quand n tend vers l'infini de Un est égal à L"
Et avec vos explications, je pense pouvoir m'en sortir, merci !
J'y regarde à nouveau et si j'ai encore un problème... Je suppose que vous m'autoriserez à vous embêter à nouveau :briques:

Une autre question m'embête : Si une suite est bornée, alors elle converge.

Je sais, par mon cours, que c'est faux (c'est un théorème).
Mais je dois proposer une démonstration, et je ne sais pas comment faire...
Je suppose qu'elle doit ressembler à une réciproque de celle que vous venez de m'expliquer... Enfin, je suppose.

Pouvez-vous m'aider s'il-vous-plaît ?

Merci par avance :we:
Bonne journée !

[Capucinae]

up s'il-vous-plaît !

[Capucinae]

Je viens d'avoir une illumation :id: pour la question suivante : Si une suite est bornée, alors elle converge.
Si je prend l'exemple de sin(n)... Elle est majorée par 1 et minorée par -1 donc bornée... et non convergente !
Mon contre-exemple est-il bon ?

Merci par avance !
Bonne journée à tous :)

[Ben314]

Oui, ton contre exemple est bon, à condition de savoir que la suite sin(n) n'est pas convergente (c'est un peu difficile à démontrer).
La suite U_n=0 si n pair et U_n=1 si n impair fourni un exemple plus simple.