Vrai ou faux convexité

[Youyou1617]

Bonjour,
J'aimerais avoir de l'aide pour cet exercice et plus particulièrement la proposition 1.
Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier les réponses.
1. Si f est une fonction convexe et dérivable sur R, qui vérifie f′(0) = 0, alors pour tout x > 0, f′(x) > 0.
2. Si f est une fonction dérivable sur R qui vérifie f′(x) = x² alors f est convexe sur R.
3. Toutes les fonctions convexes sur un intervalle I, dont la courbe est tangente à l’axe des abscisses vérifient
f(x) > 0 pour tout réel x de I.
4. Si f est une fonction convexe sur R qui vérifie f(0) = 0 alors pour tout réel x positif, on a f(x) > 0.

Voila ce que j'ai trouvé:
1.
2. Faux car la dérivée seconde est 2x qui est positive sur [-infini; 2] et négative sur [2; +infini] donc la fonction est convexe sur [-infini; 2] et concave sur [2; +infini].
3. Vrai car une fonction convexe dont la courbe est tangente a l'axe des abscisses à les branches tournées vers le haut et est strictement positive.
4. Faux car une fonction convexe n'est pas forcément croissante.

Merci de votre aide.

[L.A.]

Bonsoir,

1. Quel est le sens de variation de la dérivée f' d'une fonction convexe f ?
(on connaît le signe de la dérivée seconde f'')
2. à revérifier (l'idée est bonne)
3. attention à l'énoncé, il y a un piège (ou alors une erreur quand tu l'as recopié)
4. OK, mais une meilleure justification serait de donner un contre exemple.

[mathou13]

Bonjour,
1. vrai

Proposition — Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.

f est convexe si et seulement si sa courbe représentative est au-dessus de chacune de ses tangentes ;
f est convexe si et seulement si sa dérivée est croissante sur I.


2) faux f(x)=(1/3)x^3 donc f est convexe sur R+ concave ailleurs.
3. vrai
4. vrai

[Youyou1617]

Merci pour vos réponses.
Effectivement j'ai fais des erreurs en recopiant l'énoncé, désolé. Tous les signes > sont en réalité ≥.
1. si j'ai bien compris c'st vrai car la dérivée d'une fonction convexe est forcément croissante
2. mon erreur est dans mes intervalles car 2x est positif sur R+ et négatif sur R-
3. vu que c'est ≥ ma première réponse est vraie ?
4. un contre exemple serait f(x)= (1/exp(x))-1 ?