Vrai ou Faux algèbre linéaire.

[taughttoxique]

Bonjour à vous, dans le cadre d'un cour (Algèbre linéaire), je dois dire si quelques "hypothèses" sont vrais ou fausses et pourquoi. Sur les 20 proposés, il y en a 4 que je suis incapable de prouver. Quelqu'un pourrait-il m'aider?

1-Si une matrice A est diagonalisable, alors elle admet n valeurs propres distinctes.

Ici je crois que la réponse est vrai, car si on a n valeurs propres distinctes alors la matrice est diagonalisable. De plus, A est diagonalisable ssi la Somation des multiplicité géométrique = n. Cependant, je ne sais pas comment écrire cela pour prouver l'hypothèse.

2-Si u1,u2,u3 sont des vecteurs non nuls deux à deux orthogonaux, alors u1,u2 et u3 sont linéairement indépendants.

Je crois aussi que ceci est vrai, car pour être orthogonaux, il faut que ,, = 0. S'il advenait que les vecteurs soit dépendants, on n'atteindrait jamais la valeur 0. Encore une fois, je ne sais pas comment appliquer cela en preuve.

3-Si une matrice A est inversible, alors pour tout vecteur b le système AX=b admet toujours une solution unique.

Ici, je n'ai vraiment aucune de quoi faire...

4-Si X1 et X2 sont des vecteurs propres associés respectivement à "lamda"1 et "lamda"2, alors X1 et X2 sont linéairement indépendants.

Encore une fois, je ne sais pas trop trop comment m'y prendre.

[Ben314]

Salut
1) Que pense tu de la matrice identité (de taille nxn) : Est elle diagonalisable ? Combien de valeurs propres as-elle ?

2) Pour montrer qu U1,U2 et U3 sont linéairement indépendant, il suffit de montrer que la seule façon d'avoir a1.U1+a2.U2+a3.U3=0 avec a1,a2,a3 dans R est de prendre a1=a2=a3=0.
Or, que donne le produit scalaire de a1.U1+a2.U2+a3.U3 avec U1 ? avec U2 ? avec U3 ?

3) PAR DEFINITION, si A est inversible, il existe une matrice A^(-1) telle que A^(-1).A=In. Que devient l'égalité AX=b si on ultiplie les deux membres par A^(-1) à gauche ?

4) C'est vrai si on suppose lambda1 différent de lambda 2 (et c'est faux si lambda1=lambda2).
Pour le montrer, comme d'habitude, on suppose que a1.X1+a2.X2=0 avec a1 et a2 réels puis on multiplie cette relation à gauche par A.
On obtient....

[taughttoxique]

Grâce à ton aide, j'ai réussis à finir la preuve pour le numéro 1

Cependant, je ne comprend toujours pas le numéro 2, je ne sais pas comment procéder, ni quoi prouver exactement.

Je me met sur le numéro 3 et je te redonne des nouvelles

***MODIF***

Dans le numéro 3, si je mets A^-1 de chaque côté de l'égalité, j'arrive à X=(A^-1)*b

***MODIF2***
C'est bon! J'ai réussis à résoudre tout les numéros grâce à ton explication!