Bonjour,
Je souhaiterais vous soumettre un exercice que j'ai fait n'étant pas certaine de mes réponses.
On remplit un cône de 9cm de hauteur et de 8cm de diamètre de base avec de la glace :
- à la vanille pour les 2/3 de la hauteur
- au chocolat pour la partie restante.
Les volumes sont à arrondir au cm cube près.
1. Calculer le volume de glace qu'il contient.
Pour cette question j'ai fait : pi x 16 x 9 / 3 = 48pi soit environ 151 cm cube.
2. Calculer le volume de la glace à la vanille et celui de la glace au chocolat.
J'ai fait 48pi x 2/3 ce qui donne environ 101 cm cube pour la vanille et 48pi x 1/3 ce qui donne environ 50 cm cube.
3. Par quelles fractions faut-il multiplier le volume total de glace pour obtenir ces deux volumes ?
J'ai répondu pour la vanille : 2/3 et pour le chocolat : 1/3.
Cette dernière question me pose problème car je ne suis pas sûre d'avoir bien saisi ce qui est demandé. Les deux fractions nous sont données dans l'énoncé alors pourquoi demander par quelles fractions multiplier ?
Les réponses que j'ai fournies vous semblent-elles correctes ?
Merci d'avance !
Volume d'un cône
30 messages
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par siger » 25 Nov 2014, 11:50
bonjour
le volume d'un cone est V=B*h/3
avec B= surface de la base donc B = pi*r^2 et non 2*pi*r ......
le volume d'un cone est V=B*h/3
avec B= surface de la base donc B = pi*r^2 et non 2*pi*r ......
par kelthuzad » 25 Nov 2014, 11:52
La question qu'il faut aussi se poser c'est est-ce que les 2/3 de la hauteur correspond à 2/3 du volume.
par Liloupe » 25 Nov 2014, 11:54
Oui oui c'est bien ce que j'ai fait. Le diamètre du cercle est de 8cm, donc le rayon est de 4 cm. Donc pour le volume du cône on a bien : pi x 16 (qui correspond à 4 au carré) x 9 /3 = 151
Ce n'est pas ça ?
Ce n'est pas ça ?
par Liloupe » 25 Nov 2014, 11:58
Pour moi 2/3 de la hauteur ou 2/3 du volume c'est la même chose non ?
par kelthuzad » 25 Nov 2014, 12:01
Je ne pense pas, je trouve sauf erreur que les 2/3 remplis (sommet en bas) en montant jusqu'à z = (2/3)h en imaginant un axe (Oz) suivant la hauteur, que :
V' = (8/27) . V
Si V' est le volume de ces 2/3 et que V le volume du cône.
Un moment je vérifie q:
V' = (8/27) . V
Si V' est le volume de ces 2/3 et que V le volume du cône.
Un moment je vérifie q:
par kelthuzad » 25 Nov 2014, 12:12
Oui désolé, bon j'ai vérifié c'est bon. En recalculant le volume de la partie chocolat je trouve (19/27)V si on additionne on retrouve bien le volume total V. J'ai utilisé un calcul d'intégrale pour calculer le volume, l'as-tu déjà fait ? Sinon on réfléchit à une méthode + simple.
D'ailleurs les fractions 8/27 et 19/27 seront la réponse de la question suivante du coup.
D'ailleurs les fractions 8/27 et 19/27 seront la réponse de la question suivante du coup.
par kelthuzad » 25 Nov 2014, 12:18
Au fait on va peut-être reprendre la question 1 au passage.
V = base*hauteur/3
V = pi.R²*h/3
V = pi.(8/2)²*9/3
V = résultat en cm cube
(tu avais bon)
V = base*hauteur/3
V = pi.R²*h/3
V = pi.(8/2)²*9/3
V = résultat en cm cube
(tu avais bon)
par Liloupe » 25 Nov 2014, 12:29
Merci pour votre aide ! Je ne sais pas ce que c'est qu'un calcul intégral :s....
Sur mon dessin, le cône est présenté sommet vers le haut. La base du cône est en chocolat et le haut jusqu'au sommet à la vanille.
Vu que d'après l'énoncé, la hauteur du cône est de 9 cm et que la vanille représente 2/3 de cette hauteur, la hauteur de la vanille est : 9 x 2/3 ce qui fait 6 cm. Vu que la vanille représente 2/3, le chocolat représente 1/3 de la hauteur donc : 9 x 1/3 = 3 cm.
Voilà mon raisonnement, je ne sais pas où ça pêche :
Pour calculer le volume du chocolat, l'aire de la base ne change pas vu que le chocolat est en bas.
Donc le volume serait : pi x 16 (le rayon étant de 4 cm) x 3 (hauteur) / 3 ce qui donne 16pi soit environ 50cm3.
On sait que le volume total est de 48pi, soit 151 cm3.
Pour avoir le volume de la vanille, vu que nous n'avons pas l'aire de la base, on pourrait faire 48pi - 16pi (chocolat) = 32pi soit environ 101cm3
Sur mon dessin, le cône est présenté sommet vers le haut. La base du cône est en chocolat et le haut jusqu'au sommet à la vanille.
Vu que d'après l'énoncé, la hauteur du cône est de 9 cm et que la vanille représente 2/3 de cette hauteur, la hauteur de la vanille est : 9 x 2/3 ce qui fait 6 cm. Vu que la vanille représente 2/3, le chocolat représente 1/3 de la hauteur donc : 9 x 1/3 = 3 cm.
Voilà mon raisonnement, je ne sais pas où ça pêche :
Pour calculer le volume du chocolat, l'aire de la base ne change pas vu que le chocolat est en bas.
Donc le volume serait : pi x 16 (le rayon étant de 4 cm) x 3 (hauteur) / 3 ce qui donne 16pi soit environ 50cm3.
On sait que le volume total est de 48pi, soit 151 cm3.
Pour avoir le volume de la vanille, vu que nous n'avons pas l'aire de la base, on pourrait faire 48pi - 16pi (chocolat) = 32pi soit environ 101cm3
par Liloupe » 25 Nov 2014, 12:37
Mais je viens de réaliser que la partie où il y a le chocolat n'est pas un cône donc on ne peut appliquer la formule du volume du cône. Mon raisonnement ne marche pas :mur: :mur:
par kelthuzad » 25 Nov 2014, 12:57
Re,
En tout cas tu as les bonnes idées. Oui on va s'en sortir sans calcul d'intégrale, justement c'était pour calculer cette partie qui n'est pas un cône. Donc si le cône est base en bas, on peut déjà calculer la partie vanille.
La hauteur du cône vanille est donc (1/3)h, reste maintenant à connaitre le rayon (car on cherche le volume).
A priori 1/3 du rayon du grand cône mais vérifions :
Soit a le rayon de n'importe quelle cercle dans le cône, avec Thalès dans le triangle qui coupe le cône en 2 (fais un dessin) es-tu d'accord que
(z - h) / h = a / R
avec :
a : rayon d'un cercle dans le cône
z : la hauteur où se trouve le cercle dans le cône
h : la hauteur total du cône
R : rayon du grand cône
Et avec z = 0 au niveau de la base du cône et z = h au niveau du sommet !
Produit en croix : a = R(h - z) / h
Maintenant prenons un cercle situé à 2/3 de la hauteur donc z = (2/3)h
a = R(h - (2/3)h) / h
a = (1/3)R = R/3
En fait a est la base du cône vanille.
Ainsi le volume du cône vanille peut se noter :
V(vanille) = (1/3).pi.a².(1/3)h
V(vanille) = (1/3).pi.(R/3)².(1/3)h
V(vanille) = ...
V(chocolat) = V - V(vanille)
Avec V volume du grand cône.
J'attends tes résultats !
En tout cas tu as les bonnes idées. Oui on va s'en sortir sans calcul d'intégrale, justement c'était pour calculer cette partie qui n'est pas un cône. Donc si le cône est base en bas, on peut déjà calculer la partie vanille.
La hauteur du cône vanille est donc (1/3)h, reste maintenant à connaitre le rayon (car on cherche le volume).
A priori 1/3 du rayon du grand cône mais vérifions :
Soit a le rayon de n'importe quelle cercle dans le cône, avec Thalès dans le triangle qui coupe le cône en 2 (fais un dessin) es-tu d'accord que
(z - h) / h = a / R
avec :
a : rayon d'un cercle dans le cône
z : la hauteur où se trouve le cercle dans le cône
h : la hauteur total du cône
R : rayon du grand cône
Et avec z = 0 au niveau de la base du cône et z = h au niveau du sommet !
Produit en croix : a = R(h - z) / h
Maintenant prenons un cercle situé à 2/3 de la hauteur donc z = (2/3)h
a = R(h - (2/3)h) / h
a = (1/3)R = R/3
En fait a est la base du cône vanille.
Ainsi le volume du cône vanille peut se noter :
V(vanille) = (1/3).pi.a².(1/3)h
V(vanille) = (1/3).pi.(R/3)².(1/3)h
V(vanille) = ...
V(chocolat) = V - V(vanille)
Avec V volume du grand cône.
J'attends tes résultats !
par kelthuzad » 25 Nov 2014, 12:59
Peux-tu me confirmer, la base du cône est en bas avec 1/3 de chocolat en bas et 2/3 de vanille en haut ?
par kelthuzad » 25 Nov 2014, 13:01
Re,
En tout cas tu as les bonnes idées. Oui on va s'en sortir sans calcul d'intégrale, justement c'était pour calculer cette partie qui n'est pas un cône. Donc si le cône est base en bas, on peut déjà calculer la partie vanille.
La hauteur du cône vanille est donc (2/3)h, reste maintenant à connaitre le rayon (car on cherche le volume).
A priori 2/3 du rayon du grand cône mais vérifions :
Soit a le rayon de n'importe quelle cercle dans le cône, avec Thalès dans le triangle qui coupe le cône en 2 (fais un dessin) es-tu d'accord que
(z - h) / h = a / R
avec :
a : rayon d'un cercle dans le cône
z : la hauteur où se trouve le cercle dans le cône
h : la hauteur du grand cône
R : rayon du grand cône
Et avec z = 0 au niveau de la base du cône et z = h au niveau du sommet !
Produit en croix : a = R(h - z) / h
Maintenant prenons un cercle situé à 1/3 de la hauteur donc z = (1/3)h
a = R(h - (1/3)h) / h
a = (2/3)R = 2R/3
En fait "a" est le rayon de la base du cône vanille.
Ainsi le volume du cône vanille peut se noter :
V(vanille) = (1/3).pi.a².(2/3)h
V(vanille) = (1/3).pi.(2R/3)².(2/3)h
V(vanille) = ...
V(chocolat) = V - V(vanille)
Avec V volume du grand cône.
J'attends tes résultats !
En tout cas tu as les bonnes idées. Oui on va s'en sortir sans calcul d'intégrale, justement c'était pour calculer cette partie qui n'est pas un cône. Donc si le cône est base en bas, on peut déjà calculer la partie vanille.
La hauteur du cône vanille est donc (2/3)h, reste maintenant à connaitre le rayon (car on cherche le volume).
A priori 2/3 du rayon du grand cône mais vérifions :
Soit a le rayon de n'importe quelle cercle dans le cône, avec Thalès dans le triangle qui coupe le cône en 2 (fais un dessin) es-tu d'accord que
(z - h) / h = a / R
avec :
a : rayon d'un cercle dans le cône
z : la hauteur où se trouve le cercle dans le cône
h : la hauteur du grand cône
R : rayon du grand cône
Et avec z = 0 au niveau de la base du cône et z = h au niveau du sommet !
Produit en croix : a = R(h - z) / h
Maintenant prenons un cercle situé à 1/3 de la hauteur donc z = (1/3)h
a = R(h - (1/3)h) / h
a = (2/3)R = 2R/3
En fait "a" est le rayon de la base du cône vanille.
Ainsi le volume du cône vanille peut se noter :
V(vanille) = (1/3).pi.a².(2/3)h
V(vanille) = (1/3).pi.(2R/3)².(2/3)h
V(vanille) = ...
V(chocolat) = V - V(vanille)
Avec V volume du grand cône.
J'attends tes résultats !
par Liloupe » 25 Nov 2014, 13:32
Merci pour votre temps.....J'avoue que je m'arrache les cheveux sur cet exercice.
Je comprends votre raisonnement mais j'ai du mal à l'appliquer.
Pour moi, la vanille représente 2/3 de la hauteur soit 6 cm. Donc pareil pour le rayon. Sachant que le rayon de la base fait 4cm, 2/3 x 4 = 8/3.
Donc le volume de la vanille serait l'aire de la base x la hauteur.
L'aire de la base = pi x r au carré = pi x (8/3) au carré = 64/9 x pi.
La hauteur est de 6 cm
donc le volume vanille = pi x 64/9 x 6 / 3 = 128/9 x pi = 45 cm3 environ
On sait que la volume total est de 48pi soit environ 151cm3.
Donc le volume de chocolat = 48pi - 128/9pi = 432/9pi -128/9pi = 304/9pi soit 151 - 45 = 106 cm3 environ.
Est-ce correct ?
Mais alors quelles fractions sont attendues à la dernière question ?
Je comprends votre raisonnement mais j'ai du mal à l'appliquer.
Pour moi, la vanille représente 2/3 de la hauteur soit 6 cm. Donc pareil pour le rayon. Sachant que le rayon de la base fait 4cm, 2/3 x 4 = 8/3.
Donc le volume de la vanille serait l'aire de la base x la hauteur.
L'aire de la base = pi x r au carré = pi x (8/3) au carré = 64/9 x pi.
La hauteur est de 6 cm
donc le volume vanille = pi x 64/9 x 6 / 3 = 128/9 x pi = 45 cm3 environ
On sait que la volume total est de 48pi soit environ 151cm3.
Donc le volume de chocolat = 48pi - 128/9pi = 432/9pi -128/9pi = 304/9pi soit 151 - 45 = 106 cm3 environ.
Est-ce correct ?
Mais alors quelles fractions sont attendues à la dernière question ?
par kelthuzad » 25 Nov 2014, 14:06
Re,
Oui c'est bon, mais la méthode n'est pas très bonne, lorsque les calculs vont se compliquer dans d'autres exercices tu seras vite embêté.
Je te conseille de reprendre sans mettre les valeurs mais en gardant les lettres. En fait sur ce genre d'exercice on s'en fiche un peu des valeurs en cm, on veut trouver une expression du volume en fonction de h, R, ... On fera l'application numérique qu'à la fin.
Grâce à ça, on va comprendre tout de suite quelles fractions sont demandées à la question 3.
Donc pour continuer, essaye d'écrire le volume de la vanille en fonction de pi, R et h sans aucune valeur cm.
De même pour le volume du chocolat.
Ici tu vas devoir jongler avec les fractions et les lettres h et R, c'est la même chose que tu as fait mais sans utiliser les vraies valeurs, il y aura moins de simplification du coup mais c'est ce qu'il faut faire, confiance...
Une fois fait, peux-tu faire une relation entre ces 2 volumes et la formule globale du grand cône ?
V = (1/3)pi.R².h
Oui c'est bon, mais la méthode n'est pas très bonne, lorsque les calculs vont se compliquer dans d'autres exercices tu seras vite embêté.
Je te conseille de reprendre sans mettre les valeurs mais en gardant les lettres. En fait sur ce genre d'exercice on s'en fiche un peu des valeurs en cm, on veut trouver une expression du volume en fonction de h, R, ... On fera l'application numérique qu'à la fin.
Grâce à ça, on va comprendre tout de suite quelles fractions sont demandées à la question 3.
Donc pour continuer, essaye d'écrire le volume de la vanille en fonction de pi, R et h sans aucune valeur cm.
De même pour le volume du chocolat.
Ici tu vas devoir jongler avec les fractions et les lettres h et R, c'est la même chose que tu as fait mais sans utiliser les vraies valeurs, il y aura moins de simplification du coup mais c'est ce qu'il faut faire, confiance...
Une fois fait, peux-tu faire une relation entre ces 2 volumes et la formule globale du grand cône ?
V = (1/3)pi.R².h
par chan79 » 25 Nov 2014, 14:14
Le cône de vanille est une réduction du grand.
On passe du grand cône au cône de vanille en multipliant les distances par
Donc (résultat de collège), on obtient le volume du cône de vanille et multipliant le volume total de glace par^3=\fra{8}{27})
On passe du grand cône au cône de vanille en multipliant les distances par
Donc (résultat de collège), on obtient le volume du cône de vanille et multipliant le volume total de glace par
par Liloupe » 25 Nov 2014, 14:59
Du coup le volume de la vanille = pi x (2/3xR) au carré x 2/3H /3
Et le volume de chocolat serait : pi x (1/3R) au carré x 1/3H /3
Mais je ne vois pas trop comment simplifier ces expressions....
Et le volume de chocolat serait : pi x (1/3R) au carré x 1/3H /3
Mais je ne vois pas trop comment simplifier ces expressions....
par kelthuzad » 25 Nov 2014, 15:10
C'est bon. Par exemple (R/3)² = R²/9
Ce 9 va se simplifier avec les 3 qui traine, essaye de réduire au maximum chaque expression en commençant par développer le carré.
Ce 9 va se simplifier avec les 3 qui traine, essaye de réduire au maximum chaque expression en commençant par développer le carré.
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