Vecteurs et repère orthogonal

[Mathildeprincess]

Bonjour à tous,

Voilà, j'ai un exercice à faire pour un devoir, et si j'ai réussi la première question, les autres me laissent perplexes ...

Alors, voici l'énoncé : Dans un repère orthonormal (0; vecteur i, vecteur j) du plan, on considère les points :

A (2 ; 4), B( 27/4 ;5) , C(6 ; -2) , D(3 ; 5/2).

a) Démontrer que les points A, C et D sont alignés. Pour ça, c'est fait !
b) Démontrer que les droites (BD) et (AC) sont perpendiculaires. Sur mon dessin, elles le sont effectivement, mais la réponse " parce que ça se voit !" n'est pas valable, non ?
c) Calculer l'aire du triangle ABC. Avec les vecteurs , ça me semble compliqué, je ne l'ai pas encore vu en cours ...
d) Déterminer par calcul les coordonnées du point E tel que ABEC soit un parallélogramme. Que vaut alors l'aire de ce parallélogramme ?

Voilà ... Pour la deuxième question, j'ai pensé à placer le point E (en rapport avec la dernière question^^), symétrique de B ... mais par rapport à quoi ?! Et puis ça m'obligerait à calculer les coordonnées de E dès la deuxième question, alors qu'on ne me le demande qu'à la quatrième ...

J'essaye depuis une heure , par tous les moyens de trouver une réponse, mais je ne tombe toujours que dans une suite d'échecs, tous plus désolants les uns que les autres ...

Merci d'avance pour votre aide !

[benoit16]

Bonjour

Pour la question b)

si le coefficient angulaire de BD est a et si le coefficient angulaire de AC est
-1/a alors BD et AC sont perpendiculaire .

Pour la question c)

tu dois déterminer au moins la longueur d'un côté du triangle et la hauteur pour pouvoir calculer l'aire.

[benekire2]

pour la b) tu multiplie les coefficients directeurs , si le produit vaut -1 alors les droites sont perpendiculaires ..

[Mathildeprincess]

Merci bcp pour vos réponses ! Par contre, est-ce qu'il vous serait possible de m'expliquer un peu plus les coefficients directeurs des vecteurs pour la b ? Et pour la c, on calcule l'aire avec des vecteurs comme avec des chiffres normaux ?

Merci encore pour vos réponses si rapides !

[Mathildeprincess]

Ah, ça y est, pour la b, c'est réussi ! Par contre, pour calculer l'aire du triangle, comment je pourrais faire avec les vecteurs ?

[benoit16]

Tu dois calculer la longueur d'un des trois segments , par exemple
AC par le théorème de Pythagore . AC étant l'hypothénuse d'un triangle rectangle.
AC sera la base de ton triangle

Ensuite calculer coefficient directeur de AC : (yc-ya)/(xc-xa)
Tu dois ensuite mettre en équation AC sous la forme : Yac = a1x + b1 (1)

Reste la hauteur du triangle . Une droite part du sommet B perpendiculairement à AC et coupe AC en E .
Comment connaitre les coordonnées du point E ?
Comme la droite est perpendiculaire à AC le coeffient directeur de BE est égal
à -1/a (le a de l'équation (1)).Mettre BE sous la forme Ybe = a2x + b2 (2) .
Le point E se trouve ou les droites AC et BE se coupent, soit lorsqueYac =Ybe
a1x + b1 = a2x + b2 . Tu trouves ensuite les coordonnées du point E et ensuite c'est idem que AC pour calculer la longueur de BE avec Pythagore.

Une fois que tu as les longueurs AC et BE : Aire = AC*BE / 2

[Mathildeprincess]

Merci bcp pour vos réponses ! J'ai enfin trouvé !