Vecteurs et quadrilateres

[oga59]

Bonjour

Je rencontre des difficultés pour cette exercice, merci de bien vouloir m'aider svp.

On considère un triangle ABC isocèle en A. Soit M, le milieu de sa base [BC].soit D, l'image du point B par la translation de vecteur AC et E, l'image du point D par la translation du vecteur BM.

1) faire une figure
2) Quelle est la nature du quadrilatère MCED ? justifiez

Ce que j'ai fait:
1) http://www.noelshack.com/2014-13-1396103018-img-20140329-150548.jpg
BA et AC = 4cm et BC= 5cm (pouvez vous me corrigez, j'ai un doute si MCED est un parallélogramme ou rectangle)

2) M milieu de [BC], on sait que vecteur BM= vecteur DE donc vecteur MC=DE donc MCED est un rectangle.

[Ben314]

Salut,

- Le dessin est O.K. (à ta place, j'aurais peut-être mis A un peu plus haut pour qsue le triangle ne soit pas trop proche d'un triangle équilatéral)

- Les valeurs des longueurs BA, AC et BC, je sais pas si c'est la peine de les mettre : l'énoncé ne donne pas de valeurs donc ce qu'on te demande de montrer, ça doit être vrai pour tout triangle isocèle, et pas juste pour celui que tu as fait (donc ton dessin est forcément un exemple parmi d'autres, pas plus...)

- Sur le "doute" parallélogramme/rectangle, déjà tout rectangle est un (cas particulier de) parallélogramme donc ce n'est pas vraiment "ou bien l'un ou bien l'autre" : c'est soit un parallélogramme qui n'est pas rectangle, soit un rectangle et dans ce dernier cas, c'est aussi un parallélogramme

- Le fait, comme tu le dit, que les vecteurs MC et DE sont égaux (à ta place, j'écrirais en toute lettre que "M milieu de [BC] implique vecteur(BM)=vecteur(MC) ) signifie uniquement que le quadrilatère MCED est un parallélogramme.
C'est un bon début, mais si c'est effectivement un rectangle (et c'est le cas), il faut en plus montrer une propriété supplémentaire : soit qu'au moins un des 4 angles est droit, ou bien que les diagonales ont même longueur ou bien... autre chose de connu qui prouve qu'un parallélogramme est un rectangle.

[oga59]

vect BD=vect AC
donc ABDC est un parallélogramme.
Mais comme le triangle ABC est isocèle, ABDC sera un losange et
(MD)est perpendiculaire à (BC)

vecteur DE=vect BM=vect MC
donc MDEC est un parallélogramme et comme il y a un angle droit en D, ce sera un rectangle.

Je sais pas si c'est ca

[Ben314]

Nickel... :++:

On pouvait aussi montrer que les diagonales ont même longueur, mais c'est plus long :
ME=BD vu que M et E sont les images de B et D par la même translation.
BD=AC par construction du point D
AC=AB vu que le triangle est isocèle
AB=CD vu que C et D sont les images de A et B par la même translation