Vecteurs , espace

[warsoling]

Bonjour à tous on a corriger un exercice en classe que je ne comprends pas je vous le poste.

ABCDEFGH est un cube I et J sont les points définis par :

DI=1/3 .DC BJ=2/3 .BC


1) Exprimer chacun des vecteurs HI , EG et GJ en fonction des vecteurs AB , AD , AE

ici je comprends on a HI=-AE+1/3.AB
EG=AB+AD
GJ=-1/3.AD-AE


2)Déterminer deux réels x et y tels que HI=xEG+yGJ

et je ne comprends pas du tout comment répondre à cette question sans coordonnées !


Merci d'avance de votre aide et désolé mais je ne peux pas mettre les flèches au dessus des vecteurs bien que tout ceci soit en vecteur !

[L.A.]

Bonjour,

En renversant les relations du 1), tu peux exprimer AE en fonction de GJ et AD, puis AD en fonction de EG et AB, donc AE en fonction de GJ, EG et AB, que tu remplaces dans la formule de HI (les AB vont se simplifier).

[warsoling]

Bonjour,

En renversant les relations du 1), tu peux exprimer AE en fonction de GJ et AD, puis AD en fonction de EG et AB, donc AE en fonction de GJ, EG et AB, que tu remplaces dans la formule de HI (les AB vont se simplifier).

Merci de votre réponse , je vois à peu près ce que vous voulez dire mais je n'aurais pas su trouver la démarche seul , n'y a t'il pas une méthode plus général dans ce genre de cas ?
Ne peut on pas par exemple ce servir du cube comme d'un repère ?
Merci d'avance de m'éclairer

[L.A.]

Si, c'est d'ailleurs ce que tu fais à la question 1), tu écris tous tes vecteurs à partir des trois vecteurs de base (AB,AD,AE). On peut donc dire que HI a pour coordonnées (1/3,0,-1) dans cette base, EG a pour coordonnées (1,1,0), etc...

En décomposant HI = xEG + yGJ dans cette base, tu te ramènes à un système de trois équations à deux inconnues que tu peux résoudre. Mais je ne pense pas que ça soit plus simple comme ça...

[warsoling]

Si, c'est d'ailleurs ce que tu fais à la question 1), tu écris tous tes vecteurs à partir des trois vecteurs de base (AB,AD,AE). On peut donc dire que HI a pour coordonnées (1/3,0,-1) dans cette base, EG a pour coordonnées (1,1,0), etc...

En décomposant HI = xEG + yGJ dans cette base, tu te ramènes à un système de trois équations à deux inconnues que tu peux résoudre. Mais je ne pense pas que ça soit plus simple comme ça...

D'accord merci beaucoup !
Une dernière question , comment sait on quel vecteur représente la cote et quel victoire représente l'axe y , je m'embrouille car initialement j'ai cru que AB était l'axe des x AD l'axe de la cote et EA l'axe des y , comment reconnaitre ça dans un exo ?
Et vraiment merci pour ton aide !!

[L.A.]

Attention, ici les grandeurs x et y qui apparaissent dans la question 2) ne sont pas des coordonnées dans la base (AB,AD,AE) puisqu'elles sont en multiples des vecteurs EG et GJ.

Mais si tu veux appeler (x,y,z) les coordonnées dans la base (AB,AD,AE), il suffit que tu choisisses une fois pour toute l'ordre de tes vecteurs de base. Si tu dis "je me place dans la base (AB,AD,AE)", x sera la coordonnée selon AB, y selon AD, z selon AE.

[warsoling]

Attention, ici les grandeurs x et y qui apparaissent dans la question 2) ne sont pas des coordonnées dans la base (AB,AD,AE) puisqu'elles sont en multiples des vecteurs EG et GJ.

Mais si tu veux appeler (x,y,z) les coordonnées dans la base (AB,AD,AE), il suffit que tu choisisses une fois pour toute l'ordre de tes vecteurs de base. Si tu dis "je me place dans la base (AB,AD,AE)", x sera la coordonnée selon AB, y selon AD, z selon AE.

Non mais par exemple je peux me placer dans (AB,AE,AD) car c'est ce que j'ai fais initialement en supposant que AB=1 AE=1 et AD=-1 ?

Car ce que je veux faire c'est me placer dans un repère quelconque , trouver les coordonnées des vecteurs et à partir de ça résoudre l'équation en posant un système de 3 équations à 2 inconnus , est ce possible ?
Si oui pourrait tu me donner un exemple ?

[warsoling]

Non mais par exemple je peux me placer dans (AB,AE,AD) car c'est ce que j'ai fais initialement en supposant que AB=1 AE=1 et AD=-1 ?

Car ce que je veux faire c'est me placer dans un repère quelconque , trouver les coordonnées des vecteurs et à partir de ça résoudre l'équation en posant un système de 3 équations à 2 inconnus , est ce possible ?
Si oui pourrait tu me donner un exemple ?

Excuse moi de te déranger mais je précise qu'on vient de commencer l'espace de terminale et je galère un peu avec les nouveaux repères :/

[L.A.]

OK, on se place dans la base (AB,AD,AE) et on note (x,y,z) les coordonnées correspondantes (en contrepartie, dans la question 2), je n'utilise plus les lettres x,y mais a,b par exemple)

d'après la question 1), pour le vecteur HI, ses coordonnées sont (x,y,z)=(1/3,0,-1)
(parce que HI = (1/3).AB + 0.AD -1.AE)
pour EG, (x,y,z) = (1,1,0)
et pour GJ, (x,y,z) = (0,-1/3,-1)

si on écrit HI = a.EG + b.GJ, on a trois équations en a,b en regardant les trois coordonnées :
sur x : 1/3 = a.1 + b.0
sur y : 0 = a.1 - b.1/3
sur z : -1 = a.0 - b.1

=> solution a=1/3, b=1

[warsoling]

OK, on se place dans la base (AB,AD,AE) et on note (x,y,z) les coordonnées correspondantes (en contrepartie, dans la question 2), je n'utilise plus les lettres x,y mais a,b par exemple)

d'après la question 1), pour le vecteur HI, ses coordonnées sont (x,y,z)=(1/3,0,-1)
(parce que HI = (1/3).AB + 0.AD -1.AE)
pour EG, (x,y,z) = (1,1,0)
et pour GJ, (x,y,z) = (0,-1/3,-1)

si on écrit HI = a.EG + b.GJ, on a trois équations en a,b en regardant les trois coordonnées :
sur x : 1/3 = a.1 + b.0
sur y : 0 = a.1 - b.1/3
sur z : -1 = a.0 - b.1

=> solution a=1/3, b=1

Ok j'ai compris merci !