Vecteurs dans un triangle 1ère S

[Calie31]

Bonjour, et bonne année à tous !
Comme vous pouvez le voir, je galère toujours sur mon DM de maths récapitulant ce qu'on a fait depuis le début de l'année. Voici l'intitulé de l'exo sur les vecteurs :
"On considère un triangle ABC. On désigne par A', B' et C' les milieux respéctifs des côtés [BC], [AC], et [AB] et par O le centre du cercle circonscrit à ABC.
On désigne par G le centre de gravité du triangle ABC et on admet la relation GA+GB+GC = 0 (vecteurs).
Soit K le point défini par la relation OK = OA+OB+OC (vecteurs).
a) Démontrer que OK = 3OG (vecteurs). Que peut on en déduire pour les points O, K et G ? Fait
b) Démontrer que AK = OB + OC = 2OA' (vecteurs). J'ai réussi à démontrer que AK = OB + OC mais je n'y arrive pas pour AK = 2OA'. En déduire que les droites (KA) et (BC) sont orthogonales. Je ne vois pas le rapport avec la démonstration précédente.
c) Démontrer que K est l'orthocentre du triangle ABC. Je ne sais pas du tout comment m'y prendre
d) Qu'a-t-on ainsi démontré ?"
J'ai tracé la figure sur géogebra mais je n'arrive pas à joindre le fichier...
Merci de votre aide

[infernaleur]

Salut,
pour la b) AK=OB+OC=OA'+A'B+OA'+A'C, regardes bien dans ton dessin ce qu'est le vecteur A'B et ce qu'est le vecteur A'C.

Pour la deuxième partie de la question, tu as donc montré que (AK) et (OA') sont parallèles mais n'oublie pas O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.

[Calie31]

A'B+A'C = 0 il me semble ?
OK je vais voir. Je te dis quand j'ai fini.

[infernaleur]

A'B+A'C = 0 il me semble ?

Oui

[Calie31]

Voilà ma réponse à la 2ème partie de la b) :
(AK) et (OA') sont parallèles (car AK et OA' (vecteurs) sont colinéaires) ; (OA') est perpendiculaire à (BC) car elle passe par O qui est le centre du cercle circonscrit à ABC et par A' qui est le milieu de [BC], donc (AK) et (BC) sont orthogonales, ou perpendiculaires si on considère qu'elles sont coplanaires (car si deux droites sont //, alors toute droite perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre).

[Calie31]

Peux tu me dire si c'est bon et me donner une piste pour faire la c) ?

[infernaleur]

pour la 2)b) c'est ok.

pour la c) il faut se rappeler que l'orthocentre de ton triangle c'est le point en commun entre les trois hauteurs de ton triangle.
Donc ici tu dois montrer que K est le point d'intersection des trois hauteurs de ton triangle.

[Calie31]

Finalement pour la c) j'ai fait pareil que pour la b) mais en démontrant que la hauteur issue de B passant par [AC] passe par K et donc que K est bien l'orthocentre de ABC.
Quelqu'un saurait pour la d) ?? J'ai beau chercher sur internet (et dans ma tête , je ne trouve pas ce qui pourrait avoir été démontré, à part que K est l'orthocentre...
SVP donnez moi un coup de pouce c'est assez urgent (j'aimerai pouvoir clore mon DM..)

[Calie31]

OK merci je n'avais pas vu ta réponse.

[infernaleur]

oui c'est bien ça pour la c) il fallait faire comment la b) pour montrer que (KB) et (AC) sont perpendiculaires ou encore pour montrer que (KC) et (AB) sont perpendiculaires.

[infernaleur]

Pour la d) c'est juste une phrase de conclusion pour dire ce que tu as montré dans cette exercice.
Ton hypothèse de départ est que le point K est défini pas OK = OA+OB+OC, et a la fin tu as montré que ce point K est en fait l'orthocentre du triangle ABC.

Donc en fait tu viens de montrer cette propriété :
Si un point M vérifie la relation OM=OA+OB+OC dans un triangle ABC alors M est l'orthocentre de ce triangle.

[Calie31]

OK merci bcp de ton aide !

[infernaleur]

:super: OK merci bcp de ton aide !

De rien