Vecteur et colinearités

[Didine325]

Bonjour j'ai un dm a faire pour demain mais je n'ai pas compris

voila mon énnoncé:

Soit ABC un triangle, I et J les milieux respectifs de AB et de BC et G un point tel que:

le vecteur CG= 2/3CI

1)demontrer que G,Bet J sont alignés.


Voici ce que j'ai trouver:

1) IA+IB=0 donc 2I=A+B (1)

JA+JC=0 donc 2J= A+C (2)

3CG-2CI=0 donc C= 3G-2I (3)

(1)-(2) donnent 2I-2J=B-C comme C=3G-2I (3) alors (1)-(2) donne 2I-2J=B-3G+2I il reste B-3G+2J=0 donc les points sont alignes




pouvez vous me dire ce qui est juste s'il vous plait ?

[siger]

Bonjour et bienvenue

Desolé mais je ne comprend pas les notations!

1) IA+IB=0 donc 2I=A+B (1)

que signifient A, B .... dans cette notation?

sinon cela se demontre facilement en utilisant les vecteurs.

[Didine325]

les points A et B sont les sommets et I est le milieux de AB

[Sake]

Bonjour j'ai un dm a faire pour demain mais je n'ai pas compris

voila mon énnoncé:

Soit ABC un triangle, I et J les milieux respectifs de AB et de BC et G un point tel que:

le vecteur CG= 2/3CI

1)demontrer que G,Bet J sont alignés.


Voici ce que j'ai trouver:

1) IA+IB=0 donc 2I=A+B (1)

JA+JC=0 donc 2J= A+C (2)

3CG-2CI=0 donc C= 3G-2I (3)

(1)-(2) donnent 2I-2J=B-C comme C=3G-2I (3) alors (1)-(2) donne 2I-2J=B-3G+2I il reste B-3G+2J=0 donc les points sont alignes




pouvez vous me dire ce qui est juste s'il vous plait ?

En fait c'est drôle, tu passes d'un formalisme vectoriel à un formalisme euclidien comme si de rien n'était. Je préférerais que tu ne manipules que des vecteurs pour ne pas t'embrouiller, d'autant plus que la définition d'un point nécessite la définition d'une origine et que rien ne laisse suggérer dans l'énoncé qu'il soit nécessaire de définir des points par rapport à une origine, même si le problème pourrait très bien se traiter ainsi. Sur cette longue phrase, fin de l'aparté.

Deuxième remarque, l'énoncé se trompe. Il est impossible que G, B et J se trouvent sur une même droite à moins que le triangle ABC soit aplati. Pour l'explication, G, I et C sont alignés d'après l'énoncé, mais B, J et C sont aussi alignés. Puisque I n'est nécessairement pas confondu ou aligné avec B (sauf dans une configuration de triangle aplati, cf. précédemment), les vecteurs CB et CG ne sont pas colinéaires.
Tu peux d'ailleurs t'en convaincre avec un schéma rapide.

Par contre, on peut montrer que A, G et J sont alignés, et on le fait de la manière suivante :
Le but de l'énoncé est de montrer une relation de colinéarité entre AG et AJ.

AJ = AG + GJ = AG + GI + IJ

GJ = GI + IJ = (1/3)*CI + (1/2)*AC = (1/3)*AI + (1/6)*AC

Or AG = AC + CG = AC + (2/3)*CI

CI = CA + AI donc AG = AC + (2/3)*(CA + AI) = (2/3)*AI + (1/3)*AC

Donc on en déduit que AG = 2*IJ, ce qui veut dire que AJ = AG*(1 + 1/2) = (3/2)*AG