Vecteur 2de

[menthefresh]

Bonjour à tous, voila il ya un exercice auquel je n'ai pas tout compris, le voici :
ABCD est un rectangle . I milieu de [AB] et K defini par DK = 2/3 DI (vecteurs)

et il faut demontrer que les points A, K et C sont alignés par 3 méthodes :

A) pas de problème (avec K centre de gravité et milieu avec diagonales)
B) la il faut utiliser le repère ( A, AB, AD) et dire les coordonnées des points B, C, D et I sans justifier. ensuite il faut calculer les coordonnées du point K avec l'égalité vectorielle de l'énoncé et enfin demontrer que les vecteurs AK et AC sont colinéaires
C) il faut ici exprimer le vecteur AK en fonction de AB et AD. Et enfin conclure en montrant encore une fois que AK et AC sont colinéaires

merci d'avance

[hellow3]

Salut.

T'en es ou?

[menthefresh]

salut ben j'ai fait le A) mais il me reste le B) et le C)

[hellow3]

Pour le B, tu trouves quoi comme coordonnés?

[oscar]

Bonsoir

DONNEES Rectangle ABCD de diagonales [AC]et [BD] se coupant en 0
I milieu de [AB] et [DK] = 2/3 [DI]

THESE: AKC alignés

DEMONSTRATION


1ère methode
Dans le triangle ABD,[ DI] et [AO] médianes=> leur intersection est K
tel que [AK] = 2/3 [AO]
Donc A;K:O;C alignés

2e méthode
Soit le repère (A;AB;AD)
Coordonnées de A(0:0) de B(1;0) de C(1;1) de I ( 1/2; 0) de D(0;1)
Pour déterminer les coord. de K on sait que AK = AD +DK(vect)
Coord de AK = coord de AD (0;1) + coord de 2/3 de DI= ..
Démontrez que AK et AC collineaires(par les coord.)

3)

[menthefresh]

alors ici en fait je ne comprends pas, mais à mon avis c'st ça :
B (1, 0) , D (0, 1), I (0,5, 0) et pour C on sait que ABCD est un rectangle et donc AC = AB + AD mais après je ne sais pas aller plus loin

merci d'avance

[yvelines78]

bonsoir,

3)vecAK=vecAD+vecDK
=vecAD+2/3vecDI
=vecAD+2/3(vecDA+vecAI)
=vecAD+2/3vecDA+2/3vecAI
vecDA=-vecAD
vecAI=1/2vecAB
vecAK=vecAD-2/3vecAD+2/3*1/2*vecAB
vecAK=1/3vecAD+1/3vecAB

vecAC=vecAB+vecBC
vecBC=vecAD
vecAC=vecAB+vecAD

donc vecAK=1/3vecAC

[yvelines78]

2)
repère(O,vecAB,vecAB)
A(0;0) B(1; 0) C(1;1) D(0;1) I(1/2;0)
vecDK(xk-xd;yk-yd)
vecDK(xk-0;yk-1)

vecDI(xi-xd;yi-yd)
vecDI(1/2 -0; 0-1)

vecAK=2/3vecDI
donc xk=2/3(1/2)=1/3
et
yk-1=2/3(-1)
yk=-2/3+1=1/3
K(1/3;1/3)

vecAC(xc-xa;yc-ya)
vecAC(1-0;1-0)
vecAC(1;1)

vecAK(xk-xa;yk-ya)
vecAK(1/3;1/3)
donc
vecAK=1/3vecAC