Bonjour tout le monde!
Je suis en premiere S et suite à une erreur de raisonnement j'ai eu un problème faux sur mon ds. Malgré l'erreur (j'ai appliqué le theoreme des variations des equation du second degré (signe de a à l'exterieur des racines...) sur la fonction bi-carrée x^4+3x²-4. Comme le résultat était bon, j'ai essayé plusieurs equations et j'en suis arrivé à cette conclusion :
Si le discriminant est positif :
-Pour toute fonction bi-carrée du type ax^4+bx²+c avec a=/0, si la fonction admet 2 solutions dans R, alors la courbe representant la fonction est du signe de a à l'exterieur des racines et du signe inversé de a à l'interieur des racines.
-Pour toute fonction bi-carrée du type ax^4+bx²+c avec a=/0, si la fonction admet 4 solutions dans R, alors de part et d'autre de l'axe de symmétrie de la courbe, la courbe est du signe de a à l'exterieur des racines et du signe inversé de a à l'interieur des racines.
Est-ce vrai? Y'a t-il un moyen de le prouver?
Merci de votre aide
Maza
Variations d'une fonction bi-carrée
3 messages
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par HaK » 10 Nov 2005, 22:18
En fait il conviendrait d'être plus précis dans la propriété que tu as énoncé. Je vais essayé de la reformuler en y ajoutant des éléments de preuves :
Soit une fonction f définie sur R par f(x)=ax^4+bx²+c avec a , b , c réels et a =/ 0.
On peut montrer par le calcul que l'équation f(x)=0 admet comme solution réelles : Soit 4 simples, soit 2 doubles, soit deux simples soit aucune. En effet les solutions sont :
- Si l'équation f(x)=0 admet exactement quatres solutions réelles, alors f est du signe de f "à l'intérieur des racines".
Preuve : Soient d, e, f, g réels solutions de f(x)=0, on a :
(V x E R), f(x)=a(x-d)(x-e)(x-f)(x-g)(x-g) , d'où le résultat.
- Si l'équation f(x)=0 admet deux solutions réelles doubles, alors f est du signe de a.
Preuve : d et e sont les solutions réelles doubles on a :
(V x E R), f(x)=a(x-d)²(x-e)² , d'où le résultat.
-Si l'équation f(x)=0 n'admet aucune solutions réelles où si elle n'en admet que deux, l'expression ne peut pas se factoriser dans R. On peut cependant prouver les résultats que tu as affirmé (et les vérifier
.... ) par l'étude simple de la fonction polynomial mais cela me fatigue alors je laisse la main a quelq'un d'autre !
Soit une fonction f définie sur R par f(x)=ax^4+bx²+c avec a , b , c réels et a =/ 0.
On peut montrer par le calcul que l'équation f(x)=0 admet comme solution réelles : Soit 4 simples, soit 2 doubles, soit deux simples soit aucune. En effet les solutions sont :
- Si l'équation f(x)=0 admet exactement quatres solutions réelles, alors f est du signe de f "à l'intérieur des racines".
Preuve : Soient d, e, f, g réels solutions de f(x)=0, on a :
(V x E R), f(x)=a(x-d)(x-e)(x-f)(x-g)(x-g) , d'où le résultat.
- Si l'équation f(x)=0 admet deux solutions réelles doubles, alors f est du signe de a.
Preuve : d et e sont les solutions réelles doubles on a :
(V x E R), f(x)=a(x-d)²(x-e)² , d'où le résultat.
-Si l'équation f(x)=0 n'admet aucune solutions réelles où si elle n'en admet que deux, l'expression ne peut pas se factoriser dans R. On peut cependant prouver les résultats que tu as affirmé (et les vérifier
.... ) par l'étude simple de la fonction polynomial mais cela me fatigue alors je laisse la main a quelq'un d'autre !
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