Variations d'une fonction (1ere)

[RoubyTristan]

Bonjour,

Selon mon cours:
"-f est croissante sur I si et seulement si pour tout x de I, f'(x) est positive ou nulle
-f est décroissante sur I si et seulement si pour tout x de I, f'(x) est négative ou nulle
-f est constante sur I si et seulement si pour tout x de I, f'(x)=0""

Prenons la fonction f(x)=x^2 +2 . Sa dérivée vaut f'(x)=2x, f' s'annule en 0 , donc f est décroissante sur ]-∞ ; 0] et croissante sur [0 ; +∞[.

Or je ne comprends pas pourquoi on met les crochets vers l'intérieur pour le 0 (c'est dit dans le théorème du cours mais je ne comprends justement pas la partie surlignée en rouge). Pour moi f est constante sur l'intervalle [0;0], donc j'aurais plus tendance à écrire (en reprenant l'exemple précédent):

f est décroissante sur ]-∞ ; 0[ constante en 0, et croissante sur ]0;+∞[

C'est problématique puisque dans les exercices d'étude de sens de variation d'une fonction je n'arrive pas à déterminer les limites des variations (dans quel sens mettre les crochets des intervalles)...

Je vous remercie d'avance pour vos éclaircissements !

Tristan

[Ben314]

Salut,
Est-ce que tu as vraiment l'impression que le concept de fonction constante (ou croissante ou decroissante d'ailleurs) sur un intervalle reduit a un point soit bien pertinent.
Dit autrement, tu peut me donner une fonction definie sur [0,0] (et uniquement sur cet intervalle) et qui ne soit pas constante ?

[lyceen95]

Le moyen mnémotechnique, c'est de se dire qu'il y a les fonctions croissantes, et les fonctions strictement croissantes.

Strictement croissantes : c'est en fait ta définition, si a<b, alors f(a)<f(b)
croissantes : si a<b, alors f(a)<=f(b)

C'est la même mécanique que pour 'positif' et 'strictement positif'

Quand on parle de nombre positif, ça veut dire strictement positif ou nul.

Systématiquement, pour ces 4 adjectifs (croissant, décroissant, positif, négatif), on peut ajouter devant le mot Strictement, et ça change un peu le sens.

[catamat]

Bonjour,

Selon mon cours:
"-f est croissante sur I si et seulement si pour tout x de I, f'(x) est positive ou nulle
-f est décroissante sur I si et seulement si pour tout x de I, f'(x) est négative ou nulle

Là où cela se complique un peu c'est quand on veut démontrer la (dé)croissance stricte en utilisant la dérivée. On a ce genre de théorème qui a quelque variante prés s'énonce ainsi :

Si f' est positive (ou nulle) sur I mais ne s'annule que pour un nombre fini de valeurs sur I alors f est strictement croissante sur I.

idem pour la décroissance stricte.

Ex1 : la fonction "cube" dont la dérivée est f' telle que f'(x)=3x² celle ci est positive (ou nulle) sur R mais ne s'annule que pour x égal à 0, donc f est strictement croissante sur R

Ex2 : Soit f telle que f(x)= on a f'(x)=3x²-3=3(x-1)(x+1)
f' est négative sur [-1;1] mais ne s'annule qu'en -1 et en 1 donc f est strictement décroissante sur [-1;1].