Variations de f par rapport égalité fonction

[Annarose]

Bonjour,

J'ai un nouveau soucis par rapport à un exercice:

Soit la fonction f définie sur [1/2 ; 2 ] par f(x)= -3x + 5 - 3/2x^2

Dans une question il fallait montrer que pour tout réel de cet intervalle on a:
x3 - 1 = (x - 1) ( x^2 + x + 1)

Et maintenant il faut étudier les variations de f à l'aide de cette question, je ne vois pas comment faire. Car d'habitude on prend juste la dérivée de f(x) pour faire ça. Je ne vois pas à quoi correspond et peut me servir ça x3 - 1 = (x - 1) ( x^2 + x + 1)

[Sake]

Salut,

Bonjour,

J'ai un nouveau soucis par rapport à un exercice:

Soit la fonction f définie sur [1/2 ; 2 ] par f(x)= -3x + 5 - 3/2x^2

Dans une question il fallait montrer que pour tout réel de cet intervalle on a:
x3 - 1 = (x - 1) ( x^2 + x + 1)

Et maintenant il faut étudier les variations de f à l'aide de cette question, je ne vois pas comment faire. Car d'habitude on prend juste la dérivée de f(x) pour faire ça. Je ne vois pas à quoi correspond et peut me servir ça x3 - 1 = (x - 1) ( x^2 + x + 1)

Dérive f pour voir.

[Annarose]

J'ai f'(x)= -3x^3 + 3 / x^3

[Sake]

J'ai f'(x)= -3x^3 + 3 / x^3

N'oublie pas les parenthèses...

En factorisant par -3, qu'est-ce que ça te donne comme expression ?

[Annarose]

Aucune idée... Je ne vois pas comment faire

[Annarose]

Ça fait ( -3 (( x^3) - 1) ) / x^3 alors?

[Sake]

Ça fait ( -3 (( x^3) - 1) ) / x^3 alors?

Donc tu peux connaître le signe de f' selon x à partir de la question d'avant.

[Annarose]

Donc dans je remplace (( x^3) - 1) ) par (x - 1) ( x^2 + x + 1)

Soit ( -3 ( (x - 1) ( x^2 + x + 1) ) / x^3

Et je dis que -3 est strictement négatif
Que x - 1 est strictement positif si x est supérieur à 1
Pour x^2 + x + 1 je fais avec delta, ce qui donne -3 donc aucune solution, mais comme a est positif f est positif

Mais pour le x^3 je fais comment?

[Sake]

Donc dans je remplace (( x^3) - 1) ) par (x - 1) ( x^2 + x + 1)

Soit ( -3 ( (x - 1) ( x^2 + x + 1) ) / x^3

Et je dis que -3 est strictement négatif
Que x - 1 est strictement positif si x est supérieur à 1
Pour x^2 + x + 1 je fais avec delta, ce qui donne -3 donc aucune solution, mais comme a est positif f est positif

Mais pour le x^3 je fais comment?

Oulah, attention. Il est clair que x² + x + 1 ne s'annule jamais et que la quantité est donc toujours strictement positive.

Pour x^3, distinction des cas encore une fois. f' n'est pas définie en x=0, et pour x < 0, quel est le signe de x^3 ? Pour x positif ?

[Annarose]

Je ne suis pas certaine d'avoir compris...

x^3 est négatif sur ] - l'infini ; 0 [ et positif sur ] 0 ; + l'infini [ non?

Donc ici sur l'intervalle [1/2 ; 2] x^3 est positif ?