Variation et probabilités TES

[stephane61]

Bonjour,

J'ai un dm à faire mais comme j'ai du mal en maths pouvez-vous regarder SVP la partie B de cet exercice car je ne suis pas certain de mes réponses et je n'ai pas réussi à la dernière question. (Quelqu'un m'a déjà expliqué pour la partie A).

Exercice 2

PARTIE A

On étudie la fonction f définie sur [-0.5;18] par f(x)=3x/(4x+3)

1) calculer f(0). Le point A(0;0) appartient-il à la courbe représentative de la fonction ?

f(0)=(3*0)/(4*0+3)=0/3=0

A(0;0) appartient à la courbe car Df = [-0.5;18]. Les coordonnées de A vérifient l'équation de la courbe.

2) calculer la fonction dérivée f ' de la fonction f pour x appartenant à [-0.5;18]

X appartient [-0.5;18]
f '(x)=[3*(4x+3)-3x*4]/(4x+3)²
f '(x)=(12x+9-12x)/(4x+3)²
f '(x)=9/(4x+3)²

3) Etudier les variations de f sur [-0.5;18] (on regroupera les résultats sous forme d'un tableau de variations)

http://imagesia.com/maths-005_12cqz


f(x) est positive (autre justification à mettre ?) Il y a 2 points pour la rédaction du DM.

4) Expliquer pourquoi f(x)=0.55 admet une solution unique. On note alpha cette solution.

On applique le théorème de la valeur intermédiaire. D'après le tableau de variation, f est continue et strictement croissante sur [-0.5;18] et f(-0.5)=-1.5 et f(18)=0.72 donc l'équation f(x)=0.55 admet une seule solution sur [-0.5;18] notée alpha.

5) Donner un valeur approchée à 10^-3 près de alpha.

En utilisant la calculatrice alpha = environ 2.063

6) Calculer une équation de la tangente à la courbe représentative de f en A. Tracer cette tangente sur le document à rendre en annexe.

A(0;0)
f '(0)=9/(4*0+3)²=9/3²=9/9=1

y=f'(a)(x-a)+f(a)
y= 1(x-0)+0
y=x

Une équation de la tangente à la courbe f en A est Y=x.

J'ai calculé un deuxième point pour tracer la tangente pour x=2, y=2 donc B=(2;2)

http://imagesia.com/maths-008_12cr0


PARTIE B

Une entreprise souhaite promouvoir un nouveau produit. Elle estime que la probabilité p(x) qu'une personne prise au hasard connaisse le nom du produit après x semaines de publicité s'exprime par p(x)=3x/(4x+3) où x>ou =0

1) en vous aidant du graphique de la partie A fourni en annexe :

a) Déterminer la probabilité qu'une personne prise au hasard connaisse le produit au lancement de la campagne publicitaire.

La probabilité qu'une personne prise au hasard connaisse le produit au lancement de la campagne de publicité est 0 (BON ?)

b) Déterminer la durée nécessaire de la campagne publicitaire pour que la probabilité de choisir une personne qui connaisse ce produit soit de 0.5

Il faudra environ une semaine et demie de campagne publicitaire pour que la probabilité de choisir une personne qui connaisse ce produit soit de 0.5 (BON ? J'ai jamais été très doué pour lire les graphiques)

2) L'entreprise dispose d'un budget de 160 000 € pour la campagne publicitaire. Le coût de la campagne s'élève à 20 000€ par semaine. L'entreprise a pour objectif que 80% de la population connaisse ce produit. L'entreprise peut-elle atteindre cet objectif?

J'ai pas trouvé la réponse à cette question.Pour le moment voilà où j'en suis :

Budget 160 000€ ; coût de la campagne de pub : 20 000€/semaine donc avec son budget l'entreprise peut financer 160000/20000=8 semaines de publicité.

MERCI D'AVANCE POUR VOTRE AIDE

[JP31]

rebonjour,

Pour la question 1 a) je suis d'accord avec toi.
Pour la question 1 b) tu as également raison, d'ailleurs tu peux également vérifier ce résultat en résolvant l'équation 3X/(4X+3)=1/2 (puisque y=p(x)=1/2) ce qui correspond bien à la solution que tu as trouvé de 3/2.
Pour la question 2) tu n'as même pas besoin de faire de calcul car si tu calcules la limite de ta fonction p(x) en +infini on trouve une valeur (à toi de la calculer ? as-tu vu le calcul des limites de fonction du type de p(x) qui sont des fonctions rationnelles) qui reste inférieure à 0.8 (soit 80% du public). L'entreprise pourra donc posséder tout l'or du monde ;) elle ne pourra pas atteindre cet objectif. Tu peux donner cette conclusion par simple lecture graphique.

A+

JP

[stephane61]

Rebonsoir et encore merci :)

Pour la 1)a) j'avais hésité à lire à 1 semaine ou à 0...

pour la 2) en attendant des réponses sur le forum voilà ce que j'avais trouvé : pour que l'objectif de 80% de la population connaissant le produit soit atteint, il faudrait que la probabilité de choisir une personne qui connaisse le produit au bout de 8 semaines soit > ou= 0.8 (0.8*100=80%). Or si l'on regarde le graphique, au bout de 8 semaines la probabilité est d'environ 0.74 donc l'entreprise ne sera pas loin de son objectif mais ne l'atteindra pas (je n'ai pas vu les limites de fonction).

Ma réponse est-elle bonne ?

[JP31]

Pour moi ta réponse est correcte car elle répond bien à la question.
La réponse avec la limite est un plus car elle répond à la question et n'utilise que le graphique.

De rien pour l'aide

A+

JP