DM: Variation de fonctions

[dexter6]

Bonjour,
J'aurai besoin d'un petit coup de pouce, car la prof nous a donné ce dm, en ayant aucun support pour s'aider.
Voici l'énoncé:

Soit f la fonction définie sur |R par: f(x) = V(x²-6x+10)

1) Ecrire la trinôme x²-6x+10 sous forme canonique

2)
a) Soit h appartient à |R. Comparer f(3-h) et f(3+h)

b) Lorsque h parcourt |R, quelle propriété géométrique les points de coordonnées (3-h;f(3-h)) et (3+h;f(3+h)) vérifient-ils ?

c) Qu'en déduire sur la courbe représentative de f ?


3)
a) Montrer que la fonction f est décroissante, puis croissante sur des intervalles que l'on précisera.



Réponse:

1) p(x)= x²-6x+10
= (x-3)²-delta/4
=(x-3)² + 1

delta = b²-4ac
delta = -4


2)
a) f(3-h) = V[(3-h)-3)²+1]
= V(h²+1)

f(3+h) = V[(3+h)-3)²+1]
= V(h²+1)

Donc f(3-h)= f(3+h)


b) Les points (3-h;f(3-h)) et (3+h;f(3+h)) sont symétriques par rapport à la droites y=3. Donc y=3 est un axe de symétrie de Cf.


c) Pour cette question, je n'ai pas compris


3)
a)On sait que la courbe est décroissante sur ]-infini;3] et croissante sur [3;+infini[. Mais comment le montrer ?


Merci d'avance

[RoRo57]

Bonjour dexter,

as-tu déjà vu avec ton prof la dérivation et son utilité ?

[dexter6]

Bonjour dexter,

as-tu déjà vu avec ton prof la dérivation et son utilité ?

Non, en regardant sur le livre de maths, je me doutais un peu que le dm était sur les dérivations. Etant donné que je ne l'ai pas fait, je suis un peu perdu

Merci

[RoRo57]

Non, en regardant sur le livre de maths, je me doutais un peu que le dm était sur les dérivations. Etant donné que je ne l'ai pas fait, je suis un peu perdu

Merci

Deux solutions s'offrent à toi, soit tu sais que ta prof veut que vous utilisiez la dérivation soit non.
Personnellement, de toute façon dériver ici n'est pas du niveau première. Dans ce cas dis le moi, et je vais fouiner un peu dans mes cahiers de seconde.

[dexter6]

Je ne pense pas que le prof veuille que nous utilisions la dérivation, vu que vous me dites que ce n'est pas du niveau de première.

Merci

[RoRo57]

Je ne pense pas que le prof veuille que nous utilisions la dérivation, vu que vous me dites que ce n'est pas du niveau de première.

Merci

Très bien dans ce cas regarde bien ta fonction. Tu as du voir dans le passé quel était le sens de variation d'un polynôme donc de la forme . Tu as même du voir quel nom on pouvait lui attribuer. Sers toi donc de ce résultat de seconde pour en déduire le sens de variation.

[dexter6]

Ok merci beaucoup

[dexter6]

Puisque c'est une fonction trinôme, j'ai calculer son discriminant. Etant donner que delta = -4, il n'y a aucune racine.

Ducoup, j'ai trouver son tableau de variation:

http://www.hiboox.fr/go/images/dessin/tableau-de-variation,35963697474114e23f4577278a65f212.jpg.html

Mais pour la question 3)a), je n'ai rien démontrer. Comment faire ?

Au fait, pour la question 2) c), sa courbe représentative, je n'est pas très bien comrpis.

Merci d'avance

[dexter6]

Donc elle admet un minimum qui est 1 atteint pour x = 3

[RoRo57]

Donc elle admet un minimum qui est 1 atteint pour x = 3

Pour la question 3a), il faut déduire de la symétrie que tu as trouvé le sens de variation. Tu sais qu'une fonction linéaire en est une parabole ! Donc ça décroit, puis ça croit. Tu as prouvé, grâce à la symétrie que l'extremum, qui est ici un minimum, se trouve en x=3 donc ...

Pour la question 2c) je n'ai pas répondu car j'ai un doute. J'attends donc l'intervention de quelqu'un d'autre ! Mais pour moi, il s'agit du question sur la parité d'une fonction. Tu as du voir ça en seconde ... Mais je n'en suis absolument pas sur.

EDIT: Dans la question 2b) es-tu sur de l'équation y=3 ?

[dexter6]

Merci, normalement oui. Je l'ai tracer a la calculatrice et y=3 est bien la droite de symétrie.

[dexter6]

Désolé, mais je suis encore bloque aux questions suivantes :).

4)Soit M appartient tel que M supérieur ou égal à 1

a) Montrer que l'équation f(x) = M admet une ou deux solutions.

Je n'ai aucune idée par ou commencer :)

[RoRo57]

Désolé, mais je suis encore bloque aux questions suivantes .

4)Soit M appartient tel que M supérieur ou égal à 1

a) Montrer que l'équation f(x) = M admet une ou deux solutions.

Je n'ai aucune idée par ou commencer

Ok, alors, as-tu déjà vu le théorème des valeurs intermédiaires ?

[dexter6]

Non jamais :)

[RoRo57]

Non jamais

Ok donc tu aura droit à la méthode simple =)

Imagines toi une droite de type y=M, donc horizontale ... qui balaie ton graphique du bas vers le haut. Tu remarquera que cette droite coupe 1 fois, 2 fois ou pas la courbe C.

Alors tu dis quand M appartient à l'intervalle .... l'équation f(x)=M admet .... solutions.

[dexter6]

Désolé, j'étaits partis.
Mais on me dit M supérieur ou égal à 1, si je trace une droite a y=2, y=3, y=4 ... sa change non ?

Merci

[RoRo57]

Désolé, j'étaits partis.
Mais on me dit M supérieur ou égal à 1, si je trace une droite a y=2, y=3, y=4 ... sa change non ?

Merci

pas seulement 1 2 ou 3 mais toutes les valeurs entre 1 et l'infini. Donc par exemple quand M = 1 .... il y a .... solution. Quand m appartient à l'intervalle ]1;infini[ il y a .... solutions. Le nombre de solution est en fait le nombre de point d'intersection entre ta courbe et cette droite y=M.

RoRo

[dexter6]

pas seulement 1 2 ou 3 mais toutes les valeurs entre 1 et l'infini. Donc par exemple quand M = 1 .... il y a .... solution. Quand m appartient à l'intervalle ]1;infini[ il y a .... solutions. Le nombre de solution est en fait le nombre de point d'intersection entre ta courbe et cette droite y=M.

RoRo

Mais sur l'intervalle ]1;+infini[ si on trace y=M on aura toujours 1 solution non ?
Il y a donc un 1 point d'intersection pour chaque droite y=M

Merci

[RoRo57]

Mais sur l'intervalle ]1;+infini[ si on trace y=M on aura toujours 1 solution non ?
Il y a donc un 1 point d'intersection pour chaque droite y=M

Merci

Non pas UNE solution , regardes bien !

[dexter6]

Par exemple, quand je trace y=3, sa coupe la courbe à (3;1)