DM Variable aléatoire

[Nadraffe]

Bonjour, je ne comprends pas l'exercice du DM :
Voici l'énoncé :

Un concierge rentre d'une soirée. Il dispose de n clés dont une seule ouvre la porte de son domicile, mais il ne sait plus laquelle.

-1ère situation : Il Essaie les clés les unes après les autres en éliminant après chaque essai la clé qui n'a pas convenu. On appellera X la variable aléatoire égale au nombre d'essais nécessaires à l'obtention de la bonne clé.

Q1) Préciser X (Oméga) (Il faut partir d'où ? )
Q2) Pour tout k appartenant à X (Oméga), montrer que P[(X=k)] = 1/n. On appelle cela la loi de X, qui suit la loi uniforme : X --> U( [| 1 ; n |] )
Q3) Quel est le nombre moyen d'essais nécessaires pour trouver la bonne clé ?
Q4) Donner la variance de X

Merci d'avance à ceux qui m'aideront !

[hdci]

Bonjour,
Q1) Si "Omega" représente l'ensemble des issues de l'expérience aléatoire, Omega) représente l'ensemble des images de ces issues par X (pour rappel, X est une fonction qui à chaque issue de Omega associe un nombre).
Cette question permet d'identifier toutes les valeurs possibles "prises par X".

Q2) Quelle est la probabilité que la première clé soit la bonne ?
Quelle est la probabilité que la seconde clé soit la bonne (sachant que s'il essaye la seconde clé, c'est que la première n'était pas la bonne, et qu'il a éliminé la première clé...)
Quelle est la probabilité que la troisième clé soit la bonne (avec les mêmes considérations que précédemment) ?
Généralisation...

Q3) Dans le cours, qu'est-ce qui peut faire référence à "nombre d'essais moyen" ?

Q4) C'est une formule de cours à appliquer.

[Nadraffe]

Est-ce qu'on peut utiliser une loi binomiale ? Car si il existe seulement 1 clé parmi n clés alors il y a 1 chance sur n d'avoir la bonne clé et donc (n-1) chance d'avoir une mauvaise clé

[Nadraffe]

Sachant que ce sont des épreuves indépendantes et identiques. De plus à la Q2) on voit X --> U([| 1;n |]) ce qui signifie qu'il y a le paramètre p = 1 c'est à dire qu'il peut y avoir de 0 à 1 succès lors de cette expérience parmi n clés.

[hdci]

Sachant que ce sont des épreuves indépendantes et identiques. De plus à la Q2) on voit X --> U([| 1;n |]) ce qui signifie qu'il y a le paramètre p = 1 c'est à dire qu'il peut y avoir de 0 à 1 succès lors de cette expérience parmi n clés.

Sont-elles vraiment indépendantes ? Autrement dit, s'agit-il d'un tirage avec remise ? Relisez bien l'énoncé. Si la première clé ne marche pas qu'est-ce qu'on fait ? Donc quelle est la probabitié que la première clé soit la bonne ? Et sachant que la première clé est mauvaise, quelle est la probabilité que la seconde clé soit la bonne ? Et si après avoir essayer en vain les n-1 premières clés, quelle est la probabilité que la dernière soit la bonne ?

Est-ce qu'on peut utiliser une loi binomiale ? Car si il existe seulement 1 clé parmi n clés alors il y a 1 chance sur n d'avoir la bonne clé et donc (n-1) chance d'avoir une mauvaise clé

Avant même de considérer si on a un schéma de Bernoulli, est-ce que le problème consiste à savoir "combien de fois le concierge va-t-il trouver la bonne clé" ?
Pour rappel, la loi binomiale, c'est une répétition (fixée) d'épreuves de Bernoulli (donc succès/échec) identiques et indépendantes où on compte le nombre de succès. Ca ne ressemble pas beaucoup à la situation

[Nadraffe]

Le concierge essaye une clé, si elle est bonne alors il a 1/n chance de trouver sinon il aura au bout de 2 fois par exemple : (n-1)/n où n-1 est le nombre de clés restantes après avoir essayé la première et si il la trouve au deuxième essai la proba sera : 1/(n-1) soit P(X=2) = (n-1)/n * 1/(n-1) = 1/n

[Nadraffe]

Donc X (Oméga) = {0;1;2;.....;n}

[Nadraffe]

Donc je pense que :

Q1 ) X (Oméga) = {0;1;2;...;n}

Q2) P(X=k) = 1/n car P(X=3) = où à chaque fois on recule d'une clé car un essai a été effectué et le (1/n-2) est la configuration qui fait qu'on trouve la bonne clé au bout du 3ème essai et donc il reste n-2 clés restantes. Le résultat de tout cela est donc de P(X=k) = 1/n.

[hdci]

Q1 ) X (Oméga) = {0;1;2;...;n}

Peut-il trouver au bout de 0 fois ?

Q2) P(X=k) = 1/n car P(X=3) = où à chaque fois on recule d'une clé car un essai a été effectué et le (1/n-2) est la configuration qui fait qu'on trouve la bonne clé au bout du 3ème essai et donc il reste n-2 clés restantes. Le résultat de tout cela est donc de P(X=k) = 1/n.

C'est l'idée, mais vous ne pouvez pas déduire du cas particulier P(X=3) la généralité. Il faut le démontrer pour P(X=k) quelconque, mais ce que vous faites pour P(X=3) se reproduit facilement pour P(X=k) (sans même avoir besoin de faire une récurrence).

[Nadraffe]

Q1 ) X (Oméga) = {0;1;2;...;n}

Peut-il trouver au bout de 0 fois ?

Q2) P(X=k) = 1/n car P(X=3) = où à chaque fois on recule d'une clé car un essai a été effectué et le (1/n-2) est la configuration qui fait qu'on trouve la bonne clé au bout du 3ème essai et donc il reste n-2 clés restantes. Le résultat de tout cela est donc de P(X=k) = 1/n.

C'est l'idée, mais vous ne pouvez pas déduire du cas particulier P(X=3) la généralité. Il faut le démontrer pour P(X=k) quelconque, mais ce que vous faites pour P(X=3) se reproduit facilement pour P(X=k) (sans même avoir besoin de faire une récurrence).

Non c'est X (Oméga) = {1;2;...;n}.

Comment peut on dire que la généralité est P(X=k) = 1/n si on ne montre pas par récurrence ? On fait juste une phrase réponse ?

[Nadraffe]

Bonjour,
Q1) Si "Omega" représente l'ensemble des issues de l'expérience aléatoire, Omega) représente l'ensemble des images de ces issues par X (pour rappel, X est une fonction qui à chaque issue de Omega associe un nombre).
Cette question permet d'identifier toutes les valeurs possibles "prises par X".

Q2) Quelle est la probabilité que la première clé soit la bonne ?
Quelle est la probabilité que la seconde clé soit la bonne (sachant que s'il essaye la seconde clé, c'est que la première n'était pas la bonne, et qu'il a éliminé la première clé...)
Quelle est la probabilité que la troisième clé soit la bonne (avec les mêmes considérations que précédemment) ?
Généralisation...

Q3) Dans le cours, qu'est-ce qui peut faire référence à "nombre d'essais moyen" ?

Q4) C'est une formule de cours à appliquer.

Pour la Q3), le nombre d'essai moyen est-ce que l'obtient avec la calculatrice ? Car en cours, le prof nous a montré la loi binomiale, donc ici on ne peut pas l'utiliser, donc on utilise quelle loi ici ?

[hdci]

Comment peut on dire que la généralité est P(X=k) = 1/n si on ne montre pas par récurrence ? On fait juste une phrase réponse ?

On peut écrire ainsi : à l'essai n° k, il reste (n+1-k) clés, donc la probabilité à ce moment précis est 1/(n+1-k), et la probabilité qu'on ne la trouve pas est (n-k)/(n+1-k)
La probabilité que l'on trouve la clé exactement au bout de k tentatives est donc le produit des probabilités d'échec des tentatives précédentes, par la probabilité de succès de l'essai k, soit


Et de constater que les numérateurs et dénominateurs se simplifient deux à deux, sauf le premier dénominateur et le dernier numérateur.

Pour la Q3), le nombre d'essai moyen est-ce que l'obtient avec la calculatrice ? Car en cours, le prof nous a montré la loi binomiale, donc ici on ne peut pas l'utiliser, donc on utilise quelle loi ici ?

Ce "nombre d'essais moyen", c'est l'espérance. Quelle est la définition de l'espérance ? (Le formule donnée pour la loi binomiale n'est qu'une application de cette définition générale, mais ici ce n'est pas celle de la loi binomiale qu'il faut utiliser, mais la définition même de l'espérance)

[Nadraffe]

Comment peut on dire que la généralité est P(X=k) = 1/n si on ne montre pas par récurrence ? On fait juste une phrase réponse ?

On peut écrire ainsi : à l'essai n° k, il reste (n+1-k) clés, donc la probabilité à ce moment précis est 1/(n+1-k), et la probabilité qu'on ne la trouve pas est (n-k)/(n+1-k)
La probabilité que l'on trouve la clé exactement au bout de k tentatives est donc le produit des probabilités d'échec des tentatives précédentes, par la probabilité de succès de l'essai k, soit


Et de constater que les numérateurs et dénominateurs se simplifient deux à deux, sauf le premier dénominateur et le dernier numérateur.

D'accord merci, j'ai compris mais pourquoi il y a n+1-k au dénominateur et pas juste n-k ?

Pour la Q3), le nombre d'essai moyen est-ce que l'obtient avec la calculatrice ? Car en cours, le prof nous a montré la loi binomiale, donc ici on ne peut pas l'utiliser, donc on utilise quelle loi ici ?

Ce "nombre d'essais moyen", c'est l'espérance. Quelle est la définition de l'espérance ? (Le formule donnée pour la loi binomiale n'est qu'une application de cette définition générale, mais ici ce n'est pas celle de la loi binomiale qu'il faut utiliser, mais la définition même de l'espérance)

[Nadraffe]

Merci j'ai enfin compris le calcul , mais pourquoi est-ce qu'il y a n+1-k clés et non pas n-k ?

[Nadraffe]

Comment peut on dire que la généralité est P(X=k) = 1/n si on ne montre pas par récurrence ? On fait juste une phrase réponse ?

On peut écrire ainsi : à l'essai n° k, il reste (n+1-k) clés, donc la probabilité à ce moment précis est 1/(n+1-k), et la probabilité qu'on ne la trouve pas est (n-k)/(n+1-k)
La probabilité que l'on trouve la clé exactement au bout de k tentatives est donc le produit des probabilités d'échec des tentatives précédentes, par la probabilité de succès de l'essai k, soit


Et de constater que les numérateurs et dénominateurs se simplifient deux à deux, sauf le premier dénominateur et le dernier numérateur.

Pour la Q3), le nombre d'essai moyen est-ce que l'obtient avec la calculatrice ? Car en cours, le prof nous a montré la loi binomiale, donc ici on ne peut pas l'utiliser, donc on utilise quelle loi ici ?

Ce "nombre d'essais moyen", c'est l'espérance. Quelle est la définition de l'espérance ? (Le formule donnée pour la loi binomiale n'est qu'une application de cette définition générale, mais ici ce n'est pas celle de la loi binomiale qu'il faut utiliser, mais la définition même de l'espérance)

L'espérance c'est la somme des produits entre la probabilité d'un évènement et ..... je n'arrive pas à expliquer ce qu'est Xi appartenant à où .
Le problème, comment calculer une espérance si on ne connait ni "n", ni "k" ?

[hdci]

Merci j'ai enfin compris le calcul , mais pourquoi est-ce qu'il y a n+1-k clés et non pas n-k ?

A la première tentative, il y a n clés.
A la tentative n° 2, il reste (n-1) clés
A la tentative n° 3, il reste (n-2) clés
...
A la tentative n° k, il reste (n-(k-1)) clés, soit n-k+1

L'espérance c'est la somme des produits entre la probabilité d'un évènement et ..... je n'arrive pas à expliquer ce qu'est Xi appartenant à où .
Le problème, comment calculer une espérance si on ne connait ni "n", ni "k" ?

La formule, plus exactement, est


1) Quelles sont, dans cet exercice, les différentes valeurs de ? X représente le nombre de tentatives pour trouver la clé...
2) après quoi, vous faites la somme : il n'y a pas à "connaître k", k est un indice qui va de 1 jusqu'à n. Ecrivez-là en remplaçant xi et p(X=xi) par les valeurs qu'on a établi...
3) Quand Einstein a écrit "E=mc²", mis à part c (vitesse de la lumière qu'on connaît), connaissait-il les valeurs de E et de m ? Non bien sûr car il a traité de façon algébrique en généralité (heureusement, car s'(il avait dû calculer cela pour toutes les valeurs possibles de E et de m, il y serait encore...). C'est ce qu'on vous demande ici, vous trouverez un résultat qui sera probablement fonction de n.

[Nadraffe]

1) les différentes valeurs de sont de 1 à n
2) P(X=k) = 1/n

Ce serait : ?

Je suis en train de me perdre dans l'éxo

[hdci]

Oui, c'est cela, et non vous n'êtes pas en train de vous perdre puisque vous avez la bonne réponse.

Maintenant ce n'est pas "terminé", vous pouvez simplifier cette écriture. On ajoute des tas de fractions, mais il se trouve que... Donc cela revient à calculer la somme de...

[Nadraffe]

Oui, c'est cela, et non vous n'êtes pas en train de vous perdre puisque vous avez la bonne réponse.

Maintenant ce n'est pas "terminé", vous pouvez simplifier cette écriture. On ajoute des tas de fractions, mais il se trouve que... Donc cela revient à calculer la somme de...

Ca revient à 1 car la somme des probas vaut 1. J'ai l'impression qu'il manque beaucoup de calcul...
Tout se simplifie.

[Nadraffe]

Le nombre moyen d'essai est de 1 du coup ?