Variable aléatoire et division euclidienne

[OhDaesu]

Bonjour,

Soient n et d appartenants aux naturels non nuls, X une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur
{1, . . . . . . , n}. Soit R la variable aléatoire égale au reste de la division euclidienne de X par d. Donner la loi de R.

Merci par avance.

[Ben314]

Salut,
Prend un exemple :
On tire au pif (et avec équiprobabilité) un jeton numéroté entre 1 et 10 (compris).
Quels sont les valeurs possibles pour le reste de la division par 3 ?
Quelle est la proba. de chaque valeur possible de ce reste ?

[OhDaesu]

Salut Ben Kenobi,

Bonne idée de rétrécir l'intervalle afin de comprendre le mécanisme. Merci.

[OhDaesu]

Monsieur Ben,

Corrige moi si je me trompe. . .
Soit P(X=Xi) avec i appartenant à {1, . . . . . . ., n}
La loi de R serait définie par :
R(Omega) = {0 ,1 , 2, . . . , n}
P(R=k)= (q+1)/n (si Xi=k car quotient nul) + P(R=k) = q/n (avec Xi>k et q de Xi=Xn pour faire apparaître les q occurrences de R=k)

[Ben314]

Çà a plus ou moins l'air d'être ça, mais c'est franchement pas clair ton truc :
- Déjà ta variable aléatoire X, elle prend ces valeurs dans {1..n} donc je vois pas trop ce que c'est que tes . Ce que tu as, c'est, pour tout (loi uniforme sur {1..n}).
- Ensuite, je ne vois pas ce que représentent ton et ton . Je suppose que c'est le quotient et le reste de la division euclidienne de par , mais il faudrait évidement l'écrire !!!
- Les valeurs que peut prendre , ça pourrait effectivement être {0..n} si on avait d>n, mais dans ce cas, ça n'aurait pas grand intérêt vu qu'on aurait R=X systématiquement (si on divise un entier X par un entier d>X, il y va 0 fois et il reste X). Donc les valeurs que prend R, c'est plutôt 0,1,2,...,d-1, c'est à dire l'ensemble des restes possibles d'une division euclidienne par d.
- Enfin, pour un fixé, pour évaluer la proba. que soit égal à , il faut bien sûr compter combien il y a de tels que le reste de la division de par soit égal à . Un tel doit donc s'écrire pour un certain entier et il faut donc compter le nombre d'entier tels que . Si on reprend la division euclidienne l'encadrement s'écrit .
Si on obtient c'est à dire vu que doit être entier. Il y a donc donc possibilités et on a
Je te laisse finir de traiter les autres cas où il y a deux cas de figure selon que ou pas.

Et tu vérifia tes résultats sur l'exemple n=10; d=3 où on a p(R=0)=3/10; p(R=1)=4/10 ; p(R=2)=3/10.

[OhDaesu]

Reprenons l'exemple (avec n=10 et d=3) pour comprendre et prouver que les deux cas figures sont une réunion disjointe :
X=1= 3 x 0 + 1
X=2= 3 x 0 +2
X=3= 3 x 1 + 0
X=4= 3 x 1 + 1
X=5= 3 x 1 +2
X=6= 3 x 2 + 0
X=7= 3 x 2 + 1
X=8= 3 x 2 +2
X=9= 3 x 3 + 0
X=10= 3 x 3 + 1
On retrouve bien P(R=0)=3/10, P(R=1)=4/10 et P(R=2)=3/10
Peux-tu donc clarifier, en application numérique, k et r ? t ne peut pas être égale à 0 (cf X=1 et X=2)?