Valeurs propres d'une matrice 2*2

[Anonyme]

Bonjour,

pour une matrice 2*2 de R symétrique de la forme
a b
b c avec a>c

pouvez vous m'expliquer pourquoi la plus grande des valeurs propres l1
est supérieure à a et l'autre valeur propre l2 est inférieure à c ?

merci

[Anonyme]

Bonjour,
leur somme est a+c (trace), leur produit est ac-b² (déterminant)
On les écrit : (a+c)/2 - d et (a+c)/2 + d,
leur produit est alors (a+c)²/4 - d² = ac - b²
d'où d² = (a+c)²/4 + b² -ac = (a-c)²/4 + b² , et |d| >= |a-c|/2 , cqfd.
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Cordialement,
Bruno

[Anonyme]

ou encore comme ceci voici le polynôme caractéristique :
l^2 - (a + c)l + ac - b^2 = 0
le discriminant après calcul : (a - c)^2 + 4b^2>0
l1 = (a + c + rac((a - c)^2 + 4b^2)/2>(a + c + rac((a - c)^2)/2 = (a +
c + a - c)/2 = 2a/2 = a
l2 = (a + c - rac((a - c)^2 + 4b^2)/2< (a + c - rac((a - c)^2)/2 = (a +
c - a +c)/2 = 2c/2 = c
cqfd aussi