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[nelliie]

Posté par nelliie
bonjour,
j' ai un dm à rendre pour mardi et je bloque totalement, je ne sait même pas par où commencer . voici l' énoncé:

On construit une suite qui converge vers racine de 2 en utilisant l' algorithme de Héron. Racine de 2 est la mesure du côté d' un carré dont l' aire est 2.

On cherche donc le côté d'un carré dont l' aire est égale à 2.

Pour cela on part d' un triangle ABCD de côté AB=2 et BC=1.
L' aire est bien 2 mais ce n' est pas un carré ; la longueur 2 est un peu trop grande et la largeur un peu trop petit.

Cela nous conduit à construire deux suites U et V où Un et Vn représentent la longueur et la largeur d' un rectangle à l' étape n.

On à donc : U0=2 V0=1

2. Exprimer Un+1 et Vn+1 en fonction de Un et Vn .

3.Montrer que , pour tout entier naturel n, Un+1= (1/2)(Un+(2/(Un))



Dans le petit 2 je sait juste d' après mes cours que Un+1=Un+rn ( si la suite est arithmétique) et Un+1= Un*q^n ( si la suite est géométrique) , mais apres je ne sait pas par ou commencer.

merci d' avance

[Robic]

Bonsoir. Tu es sûr d'avoir bien recopié l'énoncé ? Par exemple ABCD n'est pas un triangle mais un rectangle. Surtout : avec le texte que tu as posté, il est impossible de déterminer Un+1 et Vn+1 puisqu'on ne dit strictement rien sur ces suites.

Je viens de regarder sur Wikipédia, la méthode géométrique est indiquée et il est précisé que « pour le rendre moins rectangle, il suffit de prendre un rectangle dont la longueur est la moyenne arithmétique des deux côtés précédents et dont l'aire reste A ».

Cette précision doit figurer quelque part dans ton énoncé.

Mettons que ce soit bien ça, dans ce cas la nouvelle longueur, Un+1, sera la moyenne des deux précédents, c'est-à-dire :
Un+1 = (Un + Vn) / 2.

Quant à V_n+1, il faudra le calculer de façon que l'aire du nouveau rectangle reste égale à 2.

La question 3 se fait probablement par récurrence.

[nelliie]

Bonsoir. Tu es sûr d'avoir bien recopié l'énoncé ? Par exemple ABCD n'est pas un triangle mais un rectangle. Surtout : avec le texte que tu as posté, il est impossible de déterminer Un+1 et Vn+1 puisqu'on ne dit strictement rien sur ces suites.

Je viens de regarder sur Wikipédia, la méthode géométrique est indiquée et il est précisé que « pour le rendre moins rectangle, il suffit de prendre un rectangle dont la longueur est la moyenne arithmétique des deux côtés précédents et dont l'aire reste A ».

Cette précision doit figurer quelque part dans ton énoncé.

Mettons que ce soit bien ça, dans ce cas la nouvelle longueur, Un+1, sera la moyenne des deux précédents, c'est-à-dire :
Un+1 = (Un + Vn) / 2.

Quant à V_n+1, il faudra le calculer de façon que l'aire du nouveau rectangle reste égale à 2.

La question 3 se fait probablement par récurrence.

Bonjour,
Tout d'abord merci pour votre réponse , en effet pardon c' est un rectangle . Voici ce qui est préciser dans mon énoncé :
on prend la moyenne de ces deux valeurs 3/2 et on cherche le nombre par lequel il faut multiplier 3/2 pour obtenir 2.
Donc moi j' ai trouver 4/3 et j' ai mit sa dans la partie "ce que je sait" de mon brouillon.
et ensuite c' est écrit : "on considère le rectangle de côté AB1=3/2 et AD1=4/3, on est un peu plus proche du carré mais ce n' est pas encore sa !"

et pour le petit trois je vais tenter pour la méthode par récurrence

merci encore

[SaintAmand]

et pour le petit trois je vais tenter pour la méthode par récurrence

Ou vous pouvez faire simple : pour tout n.

[nelliie]

Ou vous pouvez faire simple : pour tout n.

pardon mais je ne suis pas sûr de bien comprendre , donc pour tout entier naturel n , Un carré= 2 ?

[SaintAmand]

pardon mais je ne suis pas sûr de bien comprendre , donc pour tout entier naturel n , Un carré= 2 ?

Voyons... L'aire de chacun des rectangles est égale à 2 d'où u(n)v(n) = 2.

[nelliie]

Voyons... L'aire de chacun des rectangles est égale à 2 d'où u(n)v(n) = 2.

Ah d' accord je comprend mieux , comme vous aviez écrit Un Un = 2 je ne comprenais pas , merci beaucoup je vais tenter avec cette aide .

[SaintAmand]

comme vous aviez écrit Un Un = 2.

Non, j'ai bien écris la formule correctement. Mais il faut bien avouer que le rendu des formules LaTeX ne vaut pas grand chose.