Unicité de la limite

[alexis6]

Salut,

J'ai trouvé une démonstration pour prouver l'unicité de la limite, mais le problème et que bien qu'assez facile, je ne comprends pas deux trois points de détails. La voici:

Supposons que la suite (Un) admette deux limites distinctes avec l1 < l2. Notons d = l2 - l1. Comme Un converge vers l1, à partir d'un certain rang N1, tous les termes de la suite sont dans l'intervalle ouvert I1 de centre l1 et de rayon d/3. De même, comme (Un) converge vers l2, à partir d'un certain rang N2, tous les termes de la suite sont dans l'intervalle ouvert I2 de centre l2 et de rayon d/3. Donc à partir du rang N=max(N1,N2), tous les termes de la suite sont simultanément dans I2 et I1. Or ces deux intervalles sont disjoints ( ils ne se chevauchent pas ). Absurde. On a donc prouvé l'unicité de la limite.

Mes questions:
D'où vient le d/3 du début?
Pourquoi les deux intervalles ne se chevauchent pas? Est-ce parce que l'on a un nombre infinitésimal e dans les intervalles ] l1 -e ; l1 + e [ et ] l2 - e ; l2 + e [, avec l1 différente de l2?

Merci d'avance pour toute réponse!

[jlb]

Salut,

J'ai trouvé une démonstration pour prouver l'unicité de la limite, mais le problème et que bien qu'assez facile, je ne comprends pas deux trois points de détails. La voici:

Supposons que la suite (Un) admette deux limites distinctes avec l1 < l2. Notons d = l2 - l1. Comme Un converge vers l1, à partir d'un certain rang N1, tous les termes de la suite sont dans l'intervalle ouvert I1 de centre l1 et de rayon d/3. De même, comme (Un) converge vers l2, à partir d'un certain rang N2, tous les termes de la suite sont dans l'intervalle ouvert I2 de centre l2 et de rayon d/3. Donc à partir du rang N=max(N1,N2), tous les termes de la suite sont simultanément dans I2 et I1. Or ces deux intervalles sont disjoints ( ils ne se chevauchent pas ). Absurde. On a donc prouvé l'unicité de la limite.

Mes questions:
D'où vient le d/3 du début?
Pourquoi les deux intervalles ne se chevauchent pas? Est-ce parce que l'on a un nombre infinitésimal e dans les intervalles ] l1 -e ; l1 + e [ et ] l2 - e ; l2 + e [, avec l1 différente de l2?

Merci d'avance pour toute réponse!

Salut, tu as essayé un petit dessin? Tu places sur une droite l1 puis l2. L'écart entre les deux, c'est d. Tu coupes en 3 parts égales le segment [l1;l2].
Et tu considères ]l1-d/3;l1+d/3[ et ]l2-d/3;l2+d/3[.

Cela doit te convaincre!!! Sinon, tu calcules l1+d/3 et l2-d/3 et tu compares.

[alexis6]

Salut, tu as essayé un petit dessin? Tu places sur une droite l1 puis l2. L'écart entre les deux, c'est d. Tu coupes en 3 parts égales le segment [l1;l2].
Et tu considères ]l1-d/3;l1+d/3[ et ]l2-d/3;l2+d/3[.

Cela doit te convaincre!!! Sinon, tu calcules l1+d/3 et l2-d/3 et tu compaes.

ah ok merci beaucoup... Donc c'est une valeur tout à fait arbitraire si je comprends bien?

[jlb]

ah ok merci beaucoup... Donc c'est une valeur tout à fait arbitraire si je comprends bien?

euh, non, elle permet de construire deux intervalles disjoints ( sans valeur commune) autour de l1 et l2. Mais bon, d/2, d/4,.... sont envisageables

[alexis6]

euh, non, elle permet de construire deux intervalles disjoints ( sans valeur commune) autour de l1 et l2. Mais bon, d/2, d/4,.... sont envisageables

Oui, donc c'est arbitraire si on peut prendre une autre valeur...

[jlb]

Oui, donc c'est arbitraire si on peut prendre une autre valeur...

euh, non, pour moi arbitraire, c'est : je peux prendre n'importe quelle valeur. Ce n'est pas le cas ici.