Unicité limite suite

[Samoth]

Bonjour,

J'ai démontré dans un exercice que dans un espace métrique , si et sont deux parties de telles que , alors il existe deux ouverts et de tels que et .

Est-ce que je peux me servir de cette propriété pour démontrer que la limite d'une d'une suite est unique ?
Par exemple, si je suppose que tend vers et avec , alors en posant et , on a et je peux trouver deux ouverts et vérifiant les conditions de la propriété mais tels que ?

Qu'en pensez-vous ? Ca me paraît juste bizarre de définir les ensembles et comme je l'ai fait...

[Samoth]

Arf, désolé, j'ai posté dans le mauvais forum.
Je voulais poster dans le forum Supérieur !

[GaBuZoMeu]

Bonjour,

Franchement, ça me paraît un détour complètement inutile. La démonstration de l'unicité de la limite d'une suite dans un espace métrique est directe et simple : pour tout , on a à partir d'un certain rang pour et donc

[Samoth]

Salut,

Oui, je suis d'accord. Je pense que le but est de le démontrer autrement.
Dans ce cas, ce que je raconte est juste ? Le fait de choisir A et B comme je l'ai fait fonctionne, n'est-ce pas ?

[GaBuZoMeu]

Oui, mais ça me laisse tout de même l'impression d'utiliser un marteau pilon pour écraser une mouche. Si tu tiens absolument à avoir des voisinages ouverts disjoints de et , tu peux simplement prendre les boules ouvertes de centre les et de rayon , où .