"Une suite majoritairement décroissante" (Concours Général)

[Waax22951]

Bonjour,
J'ai commencé depuis peu de temps une préparation au concours général de mathématiques 2015. Après quelques révisions sur la programme de terminale, j'ai décidé de me coller à un exercice récent de ce concours pour voir si j'étais capable de faire au moins une question d'un exercice (ce qui, malheureusement , aurait été une avancée par rapport à ma première tentative..). A mon étonnement j'ai été capable de voir, en lisant un exercice, de répondre à certaines questions, ou du moins de voir comment arriver au résultat demandé..!
J'ai donc voulu voir si j'étais capable de faire un exercice en rapport avec des chapitres qui sont connus en première, comme la limite d'une suite. J'en suis arrivé à une démonstration mais celle-ci me déplaît, et je vous expliquerai pourquoi après avoir montré l'énoncé et ma réponse..
Les voici:

Énoncé:
Soit une suite de nombres réels positifs telle que et telle que, pour tout entier , au moins la moitié des termes , , ..., soient supérieurs ou égaux à .
Montrer que tend vers 0.

Réponse 1:
Démontrer que tend vers 0 revient à dire que pour tout réel , il existe un rang n suffisamment grand tel que, pour tout rang supérieur à celui-ci, on ait:


La définition de revient à dire que pour tout rang n supérieur ou égal à 1, il existe au moins rangs notés k tels que .
Réciproquement, on peut dire que pour tout entier positif n, il existe au moins un rang m tel que:

et (par définition de ).
On peut donc dire que , on a .

On a donc, à partir d'un rang n (arbitrairement grand), pour tout réel , .

tend donc vers 0.

[CENTER]_____________________[/CENTER]


Le problème de cette démonstration, c'est que je ne suis pas sûr qu'à partir d'un certain rang n, il existe forcément un réel vérifiant .. Par exemple si on prend la suite définie par , elle remplit les conditions de l'exercice mais pas la propriété ci-dessus.. (car pour tout n, ..). Est-t-il donc possible de modifier ma réponse pour qu'elle soit vraie ?

Merci de vos futures réponses ! :we:

[zygomatique]

salut

il me semble que tu as fait des erreurs sur l'ordre de tes inégalités ...

ensuite tu as une suite de réels positifs

donc pour tout e > 0 il suffit de prouver qu'il existe un rang N tel que pour tout n > N : 0 < u(n) < e

ensuite remarquer que au moins la moitié des termes avant u(n) sont supérieurs à 2u(n) qui est lui-même supérieur à u(n) ....

donc u(n) est inférieur à au moins la moitié des termes qui le précède ...

regarder alors peut-être u(2n) ...

[Waax22951]

Merci de ta réponse
J'avais aussi essayé une autre méthode avec mais elle n'avait pas porté ses fruits.. j'en étais venu à la conclusion qu'il existait au moins un entier positif m tel que:


J'ai vu une solution qui partait du principe qu'au moins un des éléments était supérieur ou égal à , puis qui démontrais par récurrence que était compris entre 0 et une fonction tendant vers 0, puis avec le théorème des gendarme on retrouvait la limite de ...

En effet je me suis trompé dans l'ordre des inégalité, j'ai mal relu mon brouillon et j'étais un peu déconcentré.. Je vais changer ça ! :lol3:
Oui mais comment faire pour être sûr qu'il y ait un rang u_k pour chaque réel ? :/ N'existe-t-il pas une autre définition de la limite mettant en scène un nombre fini de réel ? (par exemple lorsque e tend vers 0..).
Je vais essayer de réfléchir sur la problème..
Merci tout de même, et si tu as quelque chose à ajouter (si j'ai mal compris), n'hésite pas car ça me serait d'une grande aide ! :lol3:
Bonne soirée !

[paquito]

C'est un problème difficile (surprenant?). personellement, je commencerais par des exemples simples, comme ; on a bien

[Waax22951]

C'est un problème difficile (surprenant?). personellement, je commencerais par des exemples simples, comme ; on a bien

J'ai une question un peu hors-sujet: comment es-tu arrivé à ?
Ça doit être la fatigue mais je ne trouve pas..
Je trouve aussi, c'est pour ça que je veux faire le concours général: ça m'entraîne pour mon bac et aussi pour les concours démoralisants ! ^^'
Moi ce qui me dérange c'est que, justement, la suite n'est pas définie et est donc très difficilement manipulable.. Personnellement je me demande comment trouver la solution, même avec le corrigé: on est sensé utiliser un raisonnement par récurrence, mais on ne peut pas conjecturer cette dernière et elle semble alors sortie d'un chapeau de magicien.. Car même si les résultats fonctionne, je ne trouverai jamais (même après avoir faire mille et une conjectures) que ...
Existe-t-il une autre méthode pour le démontrer ? :triste:
Car j'ai déjà essayé deux autres méthodes et je suis venu à trouver un contre-exemple à chaque fois..

[t.itou29]

J'ai une question un peu hors-sujet: comment es-tu arrivé à ?
Ça doit être la fatigue mais je ne trouve pas..
Je trouve aussi, c'est pour ça que je veux faire le concours général: ça m'entraîne pour mon bac et aussi pour les concours démoralisants ! ^^'
Moi ce qui me dérange c'est que, justement, la suite n'est pas définie et est donc très difficilement manipulable.. Personnellement je me demande comment trouver la solution, même avec le corrigé: on est sensé utiliser un raisonnement par récurrence, mais on ne peut pas conjecturer cette dernière et elle semble alors sortie d'un chapeau de magicien.. Car même si les résultats fonctionne, je ne trouverai jamais (même après avoir faire mille et une conjectures) que ...
Existe-t-il une autre méthode pour le démontrer ? :triste:
Car j'ai déjà essayé deux autres méthodes et je suis venu à trouver un contre-exemple à chaque fois..

Je sais pas si c'est de là que vient le majorant mais si tu majores les 6-7 premiers termes de la suite, on s'aperçoit vite que :
où [x] désigne la partie entière.
Et on a aussi ce qui est proche de mais je n'arrive pas à le prouver par récurrence...

[Waax22951]

En réalité les corrigés de ce type d'exercices sont encore plus difficiles à comprendre que le reste..
Le rai raisonnement de corrigé c'est démontrer que pour tout .. Après perso même avec ça je n'aurais pas trouvé..
J'ai aussi de démontrer que pour tout n, mais j'ai finalement trouvé un contre-exemple..