Une suite mais pas dans les idées...

[alex-blade2]

Bonjour(soir) à tous je vous demande de l'aide sur un exercice que je n'arrive pas à finir je vous donne l'énoncé et ce que j'ai trouvé :

On considère la suite numérique définie par et, pour tout entier n, .

On considère la suite définie pour tout entier n par

Il m'est demander de démontrer que la suite est géométrique.
Pour cela je fais cette équation :
Je remplace pour , par son expression, ensuite je réduis au même dénominateur je réduis et je trouve :

Après ça je ne sais pas comment continuer, merci de votre aide.

[Ben314]

Salut,
Sur les différents intervenants dans ce site, on a chacun sa façon d'aborder le problème...
Perso, rien qu'en regardant la formule , je "vois" qu'il est trés facile de "l'inverser", c'est à dire de la transformer en qui dépend de .
Ensuite, il n'y a plus qu'à écrire tel le bourrin : où tu remplace les par leurs expression en fonction de : cela te donne l'expression de en fonction de .

[alex-blade2]

Je comprends pas votre étape quand vous dîtes l'inverser, et j'arrive pas à trouver Un en fonction de Vn :/

[Mortelune]

Bonsoir, comme Ben l'a dit il existe plusieurs méthodes.

Par rapport à la méthode que tu as entamée, en étant peut être un peu moins brutal on peut très bien s'en sortir.
Déjà ne développer les que le plus tard possible, les rapports c'est vraiment pas cool quand ça se simplifie pas rapidement.

Donc on peut obtenir :


Ce qui en développant revient à :

Donc jusque là rien de plus que ce que tu as dit, même peut être un peu moins.
Sauf qu'ici en prime on voit assez bien que si on note N le numérateur et D le dénominateur on a .
Donc

On simplifie ce qu'on peut et après on déroule

[alex-blade2]

Par le calcul j'arrive en effet à votre dernière forme. Mais après cette étape, je remplace et par sa forme ?

En faite je ne comprends pas exactement comment conclure grâce à cette forme car je trouve le Numérateur en fonction du Dénominateur je ne vois pas ce que ça peut conclure.

[Ben314]

Ce qu'il cherche à faire, c'est à montrer que le numérateur N peut s'écrire q.D où q est une constante et D est le dénominateur. Cela revien précisément à montrer que N/D=q.
Sauf que, comme N et D sont un peu compliqués, c'est pas complètement gagné...

Concernant la méthode que je te suggérait,
Sait tu comment résoudre par exemple ?
- Si OUI, ben ça veut dire que tu sait "inverser" la formule (tu recopie mot à mot ce que tu as écrit pour la résolution de en mettant à la place des et à la place des : c'est pas plus compliqué que ça)
- Si NON, en je peut vraiment rien pour toi...

[alex-blade2]

Si je vois il faut faire la forme conjugué, puis passer le 2 a gauche pour se ramener a une équation =0. Je vais essayer de faire pareil pour Vn je te tiens au courant. Mais une fois qu'on a Vn+1 en fonction de Vn comment peut-on conclure ?

Je n'arrive pas a inverser comme vous dîtes, je tombe sur la forme :

[Ben314]

Si je vois il faut faire la forme conjugué, puis passer le 2 a gauche pour se ramener a une équation =0. Je vais essayer de faire pareil pour Vn je te tiens au courant. Mais une fois qu'on a Vn+1 en fonction de Vn comment peut-on conclure ?

Soit tu te gourre pas dans les calculs (un peu longs) et tu trouve que V(n+1)=q.Vn où q est une constante et... tu as gagné.
Soit tu trouve pas ça est c'est que tu t'est gourré dans les calculs ou bien que l'énoncé est faux (ici, vu que j'ai fait les calculs, c'est forcément le premier cas).

Bon, sinon, tu peut aussi essayer de finir avec la méthode de Mortelune (à mon avis, l'idéal, c'est même de comprendre les deux...)
Il était parti sur :

avec et
et t'avais fait constater que , c'est à dire que
On peut donc écrire que
et, à ce stade, tu remplace par ...

[Ben314]

Si je vois il faut faire la forme conjugué

Non, ici, ça ne sert à rien de "faire la forme conjuguée" car, sous les racines, ce sont des "vrais nombres" donc les racines "ne gènent pas.
La méthode "standard" de colège consiste à retrancher 2 des deux cotés pour avoir ...=0 puis à réduire au même dénominateur et affirmer qu'une fraction N/D est nulle ssi N est nul.
Tu peut aussi directement multiplier par des deux cotés.

Si tu ne voit pas trop ce qu'il faut faire, je te (re)recommande de résoudre au brouillon pour voir "comment on fait".

[alex-blade2]

J'avoue que je suis perdu là. Je calcul facilement la fonction mais je n'arrive pas à résoudre avec Vn, du moins je comprends pas il faut obtenir quoi en fonction de quoi.

EDIT : J'ai un problème puisque je trouve :
j'arrive pas à isoler Un il y en a toujours un a droite et un a gauche, je sais pas comment faire pour trouver Un en fonction de Vn

[Mortelune]

Tu peux passer tous les Un à gauche et factoriser par Un.

[alex-blade2]

Oui en effet, avec tous ces calculs je me perds et je ne sais plus quoi faire, maintenant j'ai Un en fonction de Vn je vais essayer de remplacer dans le calcul de Vn+1.

J'ai trouvé

Je crois que je vais abandonner, je ne trouve décidément rien...

Après un énorme calcul je trouve que :

[Black Jack]

Bonjour(soir) à tous je vous demande de l'aide sur un exercice que je n'arrive pas à finir je vous donne l'énoncé et ce que j'ai trouvé :

On considère la suite numérique définie par et, pour tout entier n, .

On considère la suite définie pour tout entier n par

Il m'est demander de démontrer que la suite est géométrique.
Pour cela je fais cette équation :
Je remplace pour , par son expression, ensuite je réduis au même dénominateur je réduis et je trouve :

Après ça je ne sais pas comment continuer, merci de votre aide.

A partir de ce que tu as trouvé, soit :



et si