Une série harmonique

[susan_mayer]

Bonjour a tous!!! jai un petit problème avec cet exercice:

(<= veut dire "plus petit ou égal")

Soit (Sn) la suite pour tout entier n naturel:
Sn=1+1/2+1/3+...+1/n

1)on considère la fonction f(x)=x-ln(1+x) définie sur ]-1;1[
Pour x=-1/(k+1) on a démontré que pour tout entier naturel k:1/(k+1)<=ln(k+1)-ln(k).
On a écrit lencadrement(1):1/(k+1)<=ln(k+1)-ln(k)<=1/k pou k+1,2..,n-1 et on fait la somme des membres en disposant les calculs comme dans le cadre suivant.
1/2<=ln2-ln1<=1
1/3<=ln3-ln2<=1/2
..........................
1/(n-1)<=ln(n-1)-ln(n-2)<=1/(n-2)<=1/(n-2)
1/n<=ln(n)-ln(n-1)<=1/(n-1)

Montrer que on obtient lencadrement (2):Sn-1<=ln(n)<=Sn-1/n
(sa jy arrive pas du tout)

2)Pour comparer Sn et ln(n) on définit pour tout n de N la suite (Un) par Un=Sn-ln(n)
En utilsant lencadrement (1),démontrer que la suite (Un) est décroissante
(je ne voit pas comment faire!)

merci pour tout aide parce que jen ai vraiment besoin!!je ny arrive pas du tout jai cherché pendant des heures.... :mur: :triste:

[fahr451]

bonjour

quand tu fais la somme membre à membre des encadrements tu vois bien qu ' au milieu tout se "télescope" alors qu ' à gauche et à droite tu as à un chouia Sn

[susan_mayer]

rebonjour,

alors a ce que jai compris on obtient Sn de chaque coté a chaque fois mais ce que je comprend c que comment le "ln(n)" fait pour se retrouver tout seul au milieu de lencadremnt et kil yai a coté de Sn -1 et de lotre coté -1/n:
Sn-1<=ln(n)<=Sn-1



mais aussi c surtout la question dapré que je ne comprend pas car lencadrement avec les "k" sa ne peut rien montrer...

[susan_mayer]

Sn-1<=ln(n)<=Sn-1/n

[susan_mayer]

2)Pour comparer Sn et ln(n) on définit pour tout n de N la suite (Un) par Un=Sn-ln(n)
En utilsant lencadrement (1),démontrer que la suite (Un) est décroissante
(je ne voit pas comment faire!)

vous avez une idée?

[fahr451]

U(n+1) - U (n) =
S(n+1) - S(n) -[ ln ( n+1) -ln ( n) ] = 1/(n+1) - ln(1 +1/n) =<
1/(n+1) - 1/(n+1) = 0