Une question de math en apparence toute simple mais...

[cap78]

Bonjour,

Je m'arrache les cheveux depuis deux jours sur une question que je me pose et qui est en apparence toute bête mais je n'arrive pas à y trouver de réponse... la voici

Si j'ajoute chaque année 4 kg de roche sur le sol et qu'1% des roches ajoutées se dissout chaque année, quelle est la quantité totale de roche dissoute après n années? (exemple après n=47 ans)

Pour bien me faire comprendre, voici le sens du problème pour les trois premières années.

Année 1
La 1ere année, j'ajoute 4 kg de roche et à la fin de l'année, j'ai
A1 = 0.01x4 = 0.04 kg de roche dissoute

Année 2
Au début de la 2e année, j'ai toujours 4-(0.01x4)= 3.96 kg de roche non dissoute de la 1ere année et j'ajoute à nouveau 4 kg de roche. Au total, j'ai 3.96x4 = 7.96 kg de roche. A la fin de la 2e année, j'aurai donc
A2 = 0.01x7.96 = 0.0796 kg de roche dissoute
A laquelle je dois ajouter les A1 = 0.04 kg de roche dissoute la première année

Donc à la fin de la 2e année, j'ai dissout un total de 0.04 + 0.0796 = 0.1196 kg de roche

Année 3
Quantité total de roche non dissoute au début de la 3e année : 4 kg (l'apport de cette année) + 3.96 kg (qui reste de l'apport en 2e année) + 3.96-(3.96x0.01) = 3.92 kg qui reste de l'apport en 1ere année.
Au total, j'ai 4+3.96+3.92= 11.88 kg de roche non dissoute. Cela me donne une quantité de roche dissoute à la fin de la 3e année de
A3 = 0.01x11.88 = 0.1188 kg de roche dissoute
A laquelle je dois ajouter les quantitées dissoutes les années précédentes ce qui donne un total de A3+A2+A1 = 0.1188+0.0796+0.04 = 0.2384 kg de roche dissoute à la fin de la 3e année.

Voyez vous comment en sortir une solution générale?

Un immense merci à vous!

[Black Jack]

Bonjour,

Soit U(n) la quantité de roche en fin d'année.

U(n+1) = 4 + 0,99*U(n) Avec U(1) = 4

posons V(n) = a*U(n) + b
V(n+1) = a*U(n+1) + b
V(n+1) = a * (4 + 0,99*U(n)) + b
V(n+1) = 4a + b + 0,99*a*U(n)
V(n+1) = 0,99 * ((4a + b)/0,99 + a*U(n))

Cherchons des valeurs de a et b telles que : (4a + b)/0,99 = b
4a + b = 0,99b
4a = -0,01 b
b = 100 et a = -1/4 conviennent (entre autres)

on a alors : V(n) = -(1/4)*U(n) + 100
et V(n+1) = 0,99 * ((-4/4 + 100)/0,99 - (1/4)*U(n))
V(n+1) = 0,99 * (100 - (1/4)*U(n))
V(n+1) = 0,99*V(n)
Et donc Vn est une suite géométrique de raison 0,99 et de 1er terme V1 = -(1/4)*U(1) + 100 = 99

--> V(n) = 99 * 0,99^(n-1) (avec n de N*)

Et avec V(n) = a*U(n) + b
V(n) = (-1/4)*U(n) + 100
(1/4)U(n) = 100 - V(n)
U(n) = 400 - 4V(n)

U(n) = 400 - 4 * (99 * 0,99^(n-1))
U(n) = 400 - 396 * 0,99^(n-1)
*****
On vérifie :

U1 = 400 - 396 * 0,99^(1-1) = 4
U2 = 400 - 396 * 0,99^(2-1) = 7,96
U3 = 400 - 396 * 0,99^(3-1) = 11,8804
...
U47 = 400 - 396 * 0,99^(47-1) = 150,589842044

[cap78]

Tellement beau!!! Merci infiniment!!!!